Border理论

简单的是真简单，难的几乎到天花板。

约定一般$n$表示原串长度，$\mathrm{\Sigma }$为字符集。

定义

字符串的一段前缀能和一段后缀完全匹配（非原串），则称这个前缀/后缀为原串的一个Border。

对任意合法$i$，$s_i=s_{i+p}$，则称$p$为原串的一个周期。$p\mid n$时称之整周期。

各种性质

或许叫不上定理，但很有用。

Border和周期

$s_{1\dots p}$为Border当且仅当$|s|-p$为原串的一个周期。

$fail$树

• KMP的$fail$边连起来形成一棵树，这是显然的。这里一个前缀在$fail$树上对应着一个点。

• 一个前缀的所有Border在$fail$树对应着一条根链。两个前缀的最长公共Border就是LCA。

各种定理

不按重要程度排序。当然那几个证明$O(\log n)$的都挺重要的。

定理 1：

原串的最长Border和最长Border的所有Border构成了原串的所有Border。

证明显然。可以证明左包含于右并且右包含于左来证明相等。

原串的所有Border就是$\{fai{l}_n,fai{l}_{fai{l}_n},\dots \}$。

定理 2:弱周期引理

若$p,q$为$s$的周期，且$p+q\le n$，那么$gcd(p,q)$也是$s$的周期。

证明用更相减损术。不妨$p>q$，当$i\le p$时$s_i=s_{i+p}=s_{i+p-q}$，当$i\ge q$时$s_i=s_{i-q}=s_{i+p-q}$。两种情况包含所有$i$，于是$p-q$也是周期，于是推出$gcd(p,q)$是$s$的周期。

还有强化版周期引理：若$p,q$为$s$的周期，且$p+q-gcd(p,q)\le n$，那么$gcd(p,q)$也是$s$的周期。不会证明。

定理 3：

若$t$与周期$a$，$s$为$t$的一段前缀且有周期$b$，$b\mid a$，$|s|\ge a$，那么$b$也是$t$的周期。

仔细想想就挺显然的。

定理 4:

一个串用自己的前缀匹配后缀后并起来（有交的部分是一个Border），那么这个并有长度为$|s|-|\mathtt{\text{Border}}|$的周期。

很显然。

定理 5：

如果$2|s|\ge |t|$，那么$s$在$t$中的匹配位置必定为等差数列。

来证明。因为$2|s|\ge |t|$，$s$在$t$中的匹配位置一定有交。不妨将$t$中没有被$s$的匹配位置覆盖到的地方去掉（肯定是首尾的位置）。

匹配次数$\le 2$时一定等差，于是来看匹配次数达到$3$的情况。不妨设前两次差为$p$，后两次差为$q$。现在$p+q+|s|=|t|$，那么$p+q\le |s|$，于是$r=gcd(p,q)$也是$s$的周期。

设$s$的最小周期为$x$，那么一定有$x\mid r\mid p$，否则可以用弱周期引理继续构造更小的周期。

由定理 4和定理 3可知前两次并起来也有最小周期$x$，并且$p=x$否则可以有更靠前的匹配。又$x\le r\le p$，于是$x=r=p$。

又$p=r=gcd(p,q)$，所以所有匹配的循环节都是重合的，于是$t$也有$x$的最小周期。

不难发现匹配位置必为等差序列。

定理 6：

长度$\le {\displaystyle \frac{n}{2}}$的Border的长度构成一个等差序列。

来证明。假设有最长Border长度为$n-p$，另一个Border长度为$n-q$，那么$p,q$都为周期，且$p+q\le n$。由弱周期引理得$gcd(p,q)$为周期，于是存在一个Border的长度为$n-gcd(p,q)$，并且$p\le gcd(p,q)$。所以$p=gcd(p,q)$，$p\mid q$，这就构成等差了，公差为$p$。

定理 7：

一个串的所有Border按长度排序后可以划分成$O(\log n)$个等差序列。

首先将所有长度$\ge {\displaystyle \frac{n}{2}}$的Border划分到一个等差序列中。

考虑长度达到${\displaystyle \frac{n}{2}}$的最短的Border$T$。设最小周期为$d$，那么讨论：

• 若$d\le {\displaystyle \frac{n}{4}}$，那么从最长Border不断减去$d$得到$T$，此时$|T|\le {\displaystyle \frac{3}{4}}n$。

• 若$d>{\displaystyle \frac{n}{4}}$，那么最长Border的长度$\le {\displaystyle \frac{3}{4}}n$。

由定理 1，可知剩下的原串的Border都是$T$的Border，于是问题规模缩减到了原来的${\displaystyle \frac{3}{4}}$。所以是$O(\log n)$。

一个更紧的上界是$\lceil {\log }_{2}n\rceil$。

从过程中可以看到公差成倍增长，于是有推论：公差$\ge d$的Border等差序列的总大小是$O({\displaystyle \frac{n}{d}})$的。

Significant suffix

定义$\mathtt{\text{minsuf}}$表示最小后缀，$\mathtt{\text{ssuf}}$是在原串后面接上一个串后可能成为最小后缀的后缀集合。

定理 8：

对于任意两个$\mathtt{\text{ssuf}}U,V$，$|U|<|V|$时$U$是$V$的前缀。

如果$U$不是$V$的前缀，那么$UT$和$VT$的大小关系只会由$U,V$的大小关系决定，二者只有其一是$\mathtt{\text{ssuf}}$，矛盾。得证。

这样$U$还是$V$的Border。

定理 9：

如果有两个$\mathtt{\text{ssuf}}$$U$和$V$，满足$|U|<|V|$，那么$2|U|<|V|$。

假设$|U|<|V|<2|U|$，由定理 8知$U$是$V$的Border。于是$V$有长度为$|V|-|U|$的周期。

设周期为$T$，$|T|=|V|-|U|$，那么设$U=TC$，$V=TTC$。

假设在原串后加上字符串$R$，若$UR>VR$那么$U$不会是$\mathtt{\text{minsuf}}$。若$UR<VR$，那么$TCR<TTCR⟺CR<TCR=UR$，注意到$C$也是后缀，所以$U$不会是$\mathtt{\text{minsuf}}$。综上$U$不会是$\mathtt{\text{ssuf}}$，这与假设矛盾。得证。

推论：$|\mathtt{\text{ssuf(s)}}|=O(\log |s|)$。