DP优化

朴素DP都写不出来怎么办捏qwq

纵观各种优化方式，可以发现DP的优化在于两个方面：转移和状态数。

转移的优化很多，大多数的优化都关注于转移。而状态数的优化大多是针对状态的设计。

一类特殊的DP：整体DP，试图兼顾这两个方面，利用DS囊括各种DP的状态时，同样利用DS的结构将具有相同转移的状态一起转移。

矩阵快速幂优化

将转移写成$(max,+)$矩阵乘法的形式，然后上矩阵乘法，可将$O(n)$的转移优化到$O(\log n)$。

矩阵的构造函数一定要写啊啊啊啊啊。小心出现神秘错误。

前缀和优化

一般的DP加上前缀和可以优化形如$f_i=\sum _{j=l}^{r}g(j)+C$的式子。

对于一段连续区间求和，且$g(j)$是一坨只关于$j$的式子（如$f_j,f_j+w_j$）加上常数（关于$i$的式子或者真的常数）就可以使用。

特别的，如果区间的一端是固定的，只增不减，用变量存一下就好了。

单调队列优化

优化形如$f_i=min/\underset{j=l}{\overset{r}{max}}g(j)+C$的式子，其中要保证随着$i$增大，$l,r$单调不减。

$g(j)$是一坨只与$j$相关的式子,$C$同上文。

本质是及时排除不可能再有用的决策。

单调栈与单调队列都是类似的。

特别的，如果区间一端固定，另一端只增不减，用变量存一下就好了，不必用单调队列。

数据结构优化

特征：

一个状态可以从某个区间中的每个状态转移过来，且随着状态改变，对应区间没有单调性。

Sol：

用数据结构维护一下决策即可。

其实单调队列优化也算是特殊的DS优化，但是对应区间有单调性的性质很好，所以跑得更快。

线段树优化DP

特点是发现一次转移对应在DP数组上的区间修改和单点修改。于是用线段树维护DP数组。

[ARC073F] Many Moves

平衡树优化DP

其实很多时候用的是unordered_map或者map，把DP数组的一维压到这里面，并且可以快速查找可以转移的位置。

李超线段树优化DP

形如$f_i=\underset{j}{min}\{kx+b\}+C$一类的柿子，其中$x$与$i$相关，$k$和$b$与$j$相关。这样可以视作插入了一堆线段或者直线（这个区别在于一个位置能对哪些位置做出贡献），查询一个位置处一次函数最值。可以简单用李超线段树维护。

如果维护一堆直线就是单$\log$，维护线段是双$\log$。

维护线段的情况中如果线段有凹凸性就可以斜率优化。

整体DP

其实和数据结构优化DP有类似之处。

但是整体DP直接将DP中的一维压入数据结构之中。

通过数据结构上的单点修改/区间修改来快速维护此时此刻（枚举到的其他维度）的各个位置的DP值。

感觉像是将转移方程中的运算直接搞成修改。

可以发现整体DP是对$O(1)$转移的DP的再优化（因为状态数太多了），用数据结构就可以在状态数很多的情况下也能够实现快速转移（比如线段树中通过标记把一堆状态一起改）。

做的时候还是要先写朴素DP，然后通过一些手段优化到$O(1)$转移，然后上数据结构对状态数很多的情况进行优化。

线段树合并

维护树上的整体DP很方便（因为合并）。

普通的序列上的线段树不太方便维护树上的信息，于是改造成线段树合并。

维护时同样支持单点修改/区间修改 etc.

P5298 [PKUWC2018] Minimax

首先是朴素DP。

定义$f_{u,i}$表示结点$u$最后权值为$i$的概率（对应题中的$D_i$）。观察到题目给的是二叉树，然后开始想朴素转移：

$$\begin{array}{rl}{f}_{u,i}& =(1-p_u)(f_{ls,i}\sum _{j>i}{f}_{rs,j}+f_{rs,i}\sum _{j>i}{f}_{ls,j})+p_u(f_{ls,i}\sum _{j<i}{f}_{rs,j}+f_{rs,i}\sum _{j<i}{f}_{ls,j})\\ & =f_{ls,i}[(1-p_u)\sum _{j>i}{f}_{rs,j}+p_u\sum _{j<i}{f}_{rs,j}]+f_{rs,i}[(1-p_u)\sum _{j>i}{f}_{ls,j}+p_u\sum _{j<i}{f}_{ls,j}]\end{array}$$

方程里的前缀后缀和直接优化就到$O(1)$转移了。

但是由于值域很大，状态数超级多，$O(1)$转移也无法接受。于是上线段树合并，同时维护前缀和与后缀和以及乘法标记。

具体而言，点$u$上的线段树维护着$f_{u,1\dots V}$。现在考虑如何通过线段树合并实现上面的转移。

首先，当点$u$没有儿子，是叶子时，将其权值插入到它的线段树中，概率设为$1$。当点$u$只有一个儿子时，直接继承儿子的线段树树根。当点$u$有两个儿子时，合并两个儿子，将合并后的树根给$u$。

合并中，改造一下原来的merge，记录当前合并的线段树节点$lsu,rsu$，当前合并的区间$[l,r]$，区间$[1,l-1]$中$ls$和$rs$的前缀和，$[r+1,V]$中$ls$和$rs$的后缀和，以及$p_u$。

当$lsu$为空时，方程中左边那一坨都为$0$，右边$f_{rs,i}$乘上的一坨为定值，所以直接区间乘打上标记。当$rsu$为空时同理。

由于题目中给了权值互不相同，所以两棵线段树合并时值域不会重叠，于是肯定会出现一棵为空而另一棵不会空的情况。所以就做完了。

决策单调性优化

四边形不等式

就是利用四边形不等式判断决策是否有单调性。

证明不会。

单调性猜测一下就好，考场上证不了一点，可以打表找找规律看是否单调。

有了决策单调性就好办了，主要有两种方式来优化DP。

单调队列+二分

我们把决策塞到单调队列里面（其实很自然，决策有单调性嘛），然后维护一下单调性即可。

让我们更具体一点。

队列中保存决策$d(l,r,p)$，表示区间$[l,r]$的当前最优决策点为$p$。

1. 首先队列中塞入$(1,n,0)$（或者其他初始条件），准备开始DP。

2. 现在我们要计算$d{p}_i$，先从队首将$r<i$的决策出队（因为已经没用了），然后用队首计算$d{p}_i$。

3. 然后考虑插入$i$这个决策。不断取出队尾$(l,r,p)$，若用$i$更新$l$更优，那么队尾的这个决策就是没用的，出队。

4. 最后对于队尾$(l,r,p)$，用$p$更新$l$更优，那么$i$这个决策可能没用，也可能在$l$与$r$之间某处开始比$p$更优。于是二分，注意边界要开大来判断无解（就是$i$没用的情况）。

5. 若$i$没用，就跳过了去算下一个。否则要插入$i$这个决策。设二分出$i$比$p$更优的第一个位置为$u$，修改$(l,r,p)$为$(l,u-1,p)$，插入决策$(u,n,i)$。

分治

是离线版本的决策单调性优化，即当前的DP数组从另一个现在完全已知的数组中转移过来。也就是说从$f_j$转移到$f_i$的转移方式不可以用分治。

但是分治真的很好写。

设当前要确定决策点的区间为$[l,r]$，其对应的决策点所在区间为$[dl,dr]$。

那么我们可以先算$mid=\frac{l+r}{2}$，暴力扫一遍$[dl,dr]$确定$mid$的决策点$dm$，然后向下分治：

$[l,mid-1]$对应的决策点区间为$[dl,dm]$，$[mid+1,r]$对应的决策点区间为$[dm,dr]$。（含有$dm$是因为不一定严格单调）

然后就做完了。

指针移动的Trick

有些$w(l,r)$不好$O(1)$求，只能$O(n)$用指针扫。

但是每一层都暴力扫会假，不会证。

于是可以在分治外维护指针，每一层要算贡献时就像莫队一样移动指针即可。注意这样每层的指针移动量是$O(n)$的，所以总的还是$O(n\log n)$。

注意事项

1. 带有上取整，下取整，绝对值的大概率不满足决策单调性，要转化（绝对值就拆掉，取整就先用long double算，最后再取整）。

2. 可以猜单调性但别乱猜，最好能打表，时间充裕再证。

凸优化

斜率优化DP

形如$f_i=min\{f_j+C(j)-K(i)A(j)\}+B(i)$。

其中$K(i),C(j),B(i),A(j)$是关于$i,j$的一次项。

变形为$f_i-B(i)=min\{f_j+C(j)-K(i)A(j)\}$。

令：$y=f_j+C(j),x=A(j),k=K(i,j),b=f_i-B(i)$，那么原式就是$b=y-kx$。然后对于一个$i$，就是用固定的$k$移动一条直线去截平面上已有的点，使得截距最小。

注意到有用的点都是凸壳上的点（上凸或者下凸）。

单调队列维护凸包

和普通的单调队列一样。以下凸为例，弹出队尾当且仅当$k_{q_t,q_{t-1}}>k_{q_t,x}$。

注意：如果要二分，上面的$>$应为$\ge$，是为保证斜率的严格单调。

横坐标单调，斜率单调

那就是板子啊，随便单调队列就行。

注意横坐标不严格单调时可能相等的情况，算斜率的时候判一下。

横坐标单调，斜率不单调

还是单调队列维护点，然后二分查询。

横坐标不单调，斜率单调

没做过，或许继续单调队列，然后在队列中二分插入点。

横坐标不单调，斜率不单调

上李超线段树/CDQ分治/平衡树。

wqs二分

Slope Trick