图计数

各种图的计数

有标号无根树

Prüfer序列

引入强而有力的Prüfer序列。

将一棵$n$个节点从$1$到$n$标号的无根树用$[1,n]$中的$n-2$个整数表示。可以理解为完全图的生成树与数列之间的双射关系。

其建立

每次选编号最小的叶子，记录它连向的点的编号，并删除这个叶子。重复$n-2$轮直到剩下两个点。

可以用堆维护这个过程，$O(n\log n)$建立。

也可以线性构建，首先记录当前编号最小（设为$p$）的叶子，删除其连向的点并检查是否产生新的叶子。若新产生了叶子，设其编号为$x$，如果$x<p$，那么$x$就是当前最小，立即删除$x$，重复以上过程指导新产生的叶子编号比$p$大或者没有新的叶子产生。

$x>p$或者没有新的叶子产生时，在编号序列上从$p$开始往后扫到下一个最小的编号使得其为叶子。

这样是$O(n)$的。

其性质

• 构造完Prüfer序列后剩下的两个点之一一定是编号为$n$的点。

• 每个结点在序列中的出现次数为其度数$-1$，叶子结点没有出现。

Prüfer序列与一棵有标号无根树一一对应。

利用其重建树

就是构建的逆过程。推一下。

Cayley's Formula

完全图$K_n$有$n^{n-2}$棵生成树。

推导这个公式的方法很多，但Prüfer序列是最简单的。任意一个值域在$[1,n]$长度为$n$的整数序列都唯一对应了一棵$K_n$的生成树，于是有$n^{n-2}$棵。

图联通方案数

Q：

$n$个点的有标号无向连通图，其中已确定$k$个连通块，第$i$个连通块的大小为$s_i$，现在添加$k-1$条边使得图连通，求方案数。

首先将一个连通块视作一个点，将$k$个连通块的度数序列设出来$\{d_i\}$。度数之和为边数的两倍，于是有$\sum _{1\le i\le k}{d}_i=2k-2$。

对于一个给定的度数序列构造Prüfer序列的方案数为${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{k-2}{d_1-1,d_2-1,\cdots d_k-1})}$，这是因为Prüfer序列长度为$k-2$，随便划分到$[1,k]$中去的方案数。

对于第$i$个连通块，接到它上面的度数在其内部还要分配，方案数为$s_i^{d_i}$。

于是对于一个给定的度数序列，其使图连通的方案数为${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{k-2}{d_1-1,d_2-1,\cdots d_k-1})}\cdot \prod _{1\le i\le k}{s}_i^{d_i}$

现在度数序列不定，我们要枚举度数序列，然后把每种度数序列的方案数加起来。

式子就是：

$$\sum _{d_i\ge 1,\sum d_i=2k-2}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{k-2}{d_1-1,d_2-1,\cdots d_k-1})}\cdot \prod _{1\le i\le k}{s}_i^{d_i}$$

于是上多项式定理，就得到了$(\sum _{1\le i\le k}{s}_i{)}^{k-2}\prod _{1\le i\le k}{s}_i$，即$n^{k-2}\prod _{1\le i\le k}{s}_i$。

有标号无向连通图

有标号无向连通图计数，$n\le {10}^3$。

我们记 $f_n$ 表示顶点数为 $n$ 时互不相同的有标号无向连通图个数，$g_n$ 表示顶点数为 $n$ 时互不相同的无向图个数。

显然，$g_n=2^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}$。

我们考虑将所有的图按标号为 $1$ 的点所在的连通块大小分类，可以得到：

$$g_n=\sum _{i=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i-1})f_i{g}_{n-i}$$

将含有 $f_n$ 的一项单列出来，

$$g_n=\sum _{i=1}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i-1})f_i{g}_{n-i}+f_n$$

所以得到 $f_n=g_n-\sum _{i=1}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i-1})f_i{g}_{n-i}$。
于是 $O(n^2)$ 计算即可。

Matrix-Tree定理

LGV引理