特殊的数

一些数具有特殊的意义，或是特殊的性质。

错排数

记作 $d_{n}$ 。

如何求？

容斥做法

d_{n} = n! - \sum_{1 \leq k \leq n} (- 1)^{k - 1} (\binom{n}{k}) (n - k)! = n! \sum_{0 \leq k \leq n} (- 1)^{k} \frac{1}{k!}

递推做法

考虑置换环中：

$n$ 所在环的大小 $= 2$ ，那么剩下 $n - 2$ 个数要是错拍，于是贡献 $(n - 1) d_{n - 2}$ 。
$n$ 所在环的大小 $\geq 3$ ，那么 $n$ 插入之前就应该是错排，一共 $n - 1$ 个位置可以插入，于是贡献 $(n - 1) d_{n - 1}$

综上， $d_{n} = (n - 1) (d_{n - 1} + d_{n - 2})$ 。

卡特兰数（ $C a t a l a n N u m b e r$ ）

以下记作 $h_{n}$ 。

这个数字是很多计数问题的答案，如：

网格图上从 $(0, 0)$ 走到 $(n, n)$ ，不得经过 $y = x$ 的方案数。
在圆上任取 $2 n$ 个点，连出 $n$ 条线段且两两不交的方案数。
进栈序列为 $1, 2, \dots, n$ 的栈的出栈序列的方案数。
$n$ 对括号所能组成的合法括号序列数。
$n$ 个节点构成二叉树的方案数。

递推式：

\begin{aligned} h_{n} & = {\begin{cases} \sum_{0 \leq k < n} h_{k} h_{n - k - 1} & n \geq 2 \\ 1 & n = 0, 1 \end{cases} \\ = (\binom{2 n}{n}) - (\binom{2 n}{n - 1}) \end{aligned}

顺带把通项写了。

h_{n} = (\binom{2 n}{n}) - (\binom{2 n}{n - 1}) = \frac{(\binom{2 n}{n})}{n + 1}

另一个递推式：

h_{n} = \frac{4 n - 2}{n + 1} h_{n - 1}

证明一下通项：

考虑 $h_{n}$ 的OGF为 $H$ ，由第一种递推式可以整理出 $H = 1 + x H^{2}$ 。

解得 $H = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 x}}{2 x} = \frac{2}{1 \mp \sqrt{1 - 4 x}}$ 。由 $H (0) = h_{0} = 1$ 可知要取 $H = \frac{1 - \sqrt{1 - 4 x}}{2 x}$

然后拿二项式定理展开 $\sqrt{1 - 4 x}$ 即可。

斐波那契数（ $F i b o n a c c i N u m b e r$ ）

斯特林数（ $S t i r l i n g N u m b e r$ ）

第二类斯特林数

这里先介绍第二类斯特林数（因为它更常用）。

第二类斯特林数： ${\binom{n}{m}}$ ，表示将 $n$ 个不同物品划分入 $m$ 个相同（无标号）非空集合中构成簇（元素为集合的集合）的方案数。

考虑第 $n$ 个元素，我们得到了它的递推式和通项公式。

{\binom{n}{m}} = {\binom{n - 1}{m - 1}} + m {\binom{n - 1}{m}}

（考虑组合意义，要么第 $n$ 个元素单独构成一个集合，要么第 $n$ 个元素选择前 $m$ 个集合中的一个插入。）

边界为 ${\binom{n}{0}} = [n = 0]$

以及，

{\binom{n}{m}} = \sum_{i = 0}^{m} (- 1)^{m - i} \frac{i^{n}}{(m - i)! i!}

观察通项公式的特点，令 $f_{i} = \frac{i^{n}}{i!}, g_{m - i} = \frac{(- 1)^{m - i}}{(m - i)!}$ ，则有：

{\binom{n}{m}} = \sum_{i = 0}^{m} f_{i} g_{m - i}

后面是卷积的形式，可以用 $NTT$ 优化到 $O (m \log m)$ 求出一整行(一行指： ${\binom{n}{i}}$ 中， $n$ 相同， $i = 0 \dots m$ )。

特殊值

${\binom{n}{0}} = [n = 0]$
${\binom{n}{1}} = {\binom{n}{n}} = 1 (n > 0)$
${\binom{n}{2}} = 2^{n - 1} - 1 (n > 0)$
${\binom{n}{n - 1}} = (\binom{n}{2})$

生成函数

和高阶差分的关系

第一类斯特林数

$[\binom{n}{k}]$ 表示将 $n$ 个元素分成 $k$ 个轮换的方案数，也即 $n!$ 个排列中，有 $k$ 个置换环的方案数。

特殊值

$[\binom{n}{0}] = [n = 0]$
$[\binom{n}{n}] = 1 (n > 0)$
$[\binom{n}{1}] = (n - 1)! (n > 0)$
$[\binom{n}{n - 1}] = (\binom{n}{2})$

不等式

由定义易知 $[\binom{n}{k}] \geq {\binom{n}{k}}$ ，当且仅当每个轮换至多有 $2$ 个元素时等号成立，即 $k = n - 1, n$ 。

递推式

[\binom{n}{k}] = (n - 1) [\binom{n - 1}{k}] + [\binom{n - 1}{k - 1}]

即考虑第 $n$ 个元素的决策，放在以有的 $k$ 个轮换中的一个，有 $n - 1$ 个位置可以放，或者自己成为一个轮换。

生成函数

一行之和

\sum_{0 \leq k \leq n} [\binom{n}{k}] = n!

由定义可知。

普通幂转下降幂

x^{n} = \sum_{0 \leq k \leq n} {\binom{n}{k}} x^{\underset{―}{k}} = \sum_{0 \leq k \leq n} {\binom{n}{k}} (\binom{x}{k}) k!

证明一：

考虑组合意义。左边相当于将 $k$ 个元素放入 $x$ 个有标号集合中（集合可以为空）。

右边 $i$ 相当于枚举非空集合个数， $(\binom{x}{i})$ 表示从 $x$ 个集合中选出 $i$ 个集合使之非空， ${\binom{k}{i}}$ 表示将 $k$ 个元素划分到 $i$ 个无标号非空集合中的方案数。由于 $(\binom{x}{i})$ 和 ${\binom{k}{i}}$ 的集合都无标号，最后乘上 $i!$ 让集合有标号。

那么左右两边的组合意义相同，所以相等。

证明二：

一个重要的观察是： $x^{\underset{―}{k + 1}} = x^{\underset{―}{k}} (x - k) \Rightarrow x \cdot x^{\underset{―}{k}} = x^{\underset{―}{k + 1}} + k \cdot x^{\underset{―}{k}}$

于是用数学归纳法和第二类斯特林数的加法公式可以证。

上升幂转普通幂

x^{\overset{―}{n}} = \sum_{0 \leq k \leq n} [\binom{n}{k}] x^{k}

观察： $x^{\overset{―}{k + 1}} = (x + k) x^{\overset{―}{k}}$ ，且 $(x + n - 1) x^{k} = x^{k + 1} + (n - 1) \cdot x^{k}$

下降幂转普通幂

x^{\underset{―}{n}} = \sum_{0 \leq k \leq n} (- 1)^{n - k} [\binom{n}{k}] x^{k}

注意到上升幂和下降幂有相反的符号即可得到。

普通幂转上升幂

x^{n} = \sum_{0 \leq k \leq n} (- 1)^{n - k} {\binom{n}{k}} x^{\overset{―}{k}}

注意到 $(- x)^{\underset{―}{n}} = (- 1)^{n} x^{\overset{―}{n}}$ ，将 $- x$ 代入普通幂转下降幂，然后用注意到的式子即可得到。

posted @ 2024-12-23 18:58 RandomShuffle 阅读(10) 评论(0) 编辑收藏举报

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