二分图相关技术

Bipartite Graph.

无特殊说明时，$n$为点数，$m$为边数。

基础部分

定义和判定

点集可以分成两个集合，任意一个集合内部没有边。

性质：没有奇环。这是充要条件。用这个来$O(n+m)$来判定二分图。

二分图最大匹配

P3386 【模板】二分图最大匹配

可Dinic$O(n\sqrt{m})$，可匈牙利$O(nm)$。

注意这里的Dinic$O(n\sqrt{m})$跑得很满。

介绍一下匈牙利算法。

本质是找一条增广路$\mathtt{\text{非匹配边}}\to \mathtt{\text{匹配边}}\to \cdots \to \mathtt{\text{非匹配边}}$，将其上状态互换，得到匹配数$+1$。

给出匈牙利。

匈牙利板子

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn=510;
int n,m,k,ans,mat[maxn];
bool vis[maxn],g[maxn][maxn];

bool dfs(int u){
	for(int v=1;v<=m;++v){
		if(!g[u][v]||vis[v]) continue;
		vis[v]=true;
		if(!mat[v]||dfs(mat[v])){
			mat[v]=u;
			return true;
		}
	}
	return false;
}

int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=k;++i){
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		g[u][v]=true;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		if(dfs(i)) ans++;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
} 

二分图最大权匹配

满足是最大匹配的同时边权和最大。

可以跑费用流，但时间复杂度不是多项式，是伪多项式$O(nmf)$。有KM算法，时间复杂度为$O(n^3)$。

König定理

对于一张二分图，最大匹配数等于最小点覆盖数（选最少的点使得每条边两端都有至少一个点被选中）。

构造就是从每个非匹配的右部点（或者左部点）出发，找增广路。把经过的每个点标记。最小点覆盖就是右边没被标记的点和左边被标记的点。

König定理推论

最大独立集为最小点覆盖的补集。

Hall定理

这是判断二分图是否有完美匹配的最高准则。

设左部点集合为$V_L$，右部点集合为$V_R$，那么任意$|V_L|\le |V_R|$的二分图存在完美匹配的充要条件是：对左部点$V_L$的任意一个子集$S$，与其相邻的右部点集合$N(S)$都满足$|S|\le |N(S)|$。

来证明一下，首先必要性是显然的，下证充分性。来反证法，假设有一张满足Hall定理但没有完美匹配的二分图。设$x\in V_L$没有被匹配，$y\in V_R$与$x$相邻。

• 如果$y$未匹配，那么直接匹配就行。

• 如果$y$匹配了，那么设$z$与$y$匹配了。用Hall定理，与$S=\{x,z\}$相邻的右部点集合$N(S)$满足$N(S)\ge 2$，于是还有一个新点与$\{x,z\}$相邻。

可以发现第二种情况的过程类似于找增广路。由于最后$|S|=|V_L|\le |N(S)|$，一定可以找到一条增广路。于是得证。

典中典

DAG的最小不相交路径覆盖

点不相交。

Sol：

将每个点$u$拆成$u_L$和$u_R$分别作为左右部点。

如果原图中有边$u\to v$，那么在二分图中就加边$u_L\to v_R$。

原本每个点作为一条路径，覆盖整个DAG。二分图上每个匹配使得两条路径拼起来，路径数$-1$。于是最小路径覆盖数即$n-\mathtt{\text{最大匹配}}$。

DAG的最小可相交路径覆盖

点可以相交了。

Sol：

先传递闭包求出连通性。如果传递闭包后得到存在路径$u⇝v$，就视作存在一条边$u\to v$。再跑上面的不可相交路径覆盖即可。

等着补吧。