优化建图相关技术

参考tzc_wk的博客

前缀优化建图

适用形式：

1. 从$x$向$[1,i]$连边。

2. 从$x$向$[i,n]$连边。

3. 从$[1,x]$向$[y,n]$连边。

考虑建$n$个虚点$s_i$和$n$个虚点$p_i$。$s_i$代表$[1,i]$的前缀，$p_i$代表$[i,n]$的后缀。

我们连边$i\to s_i$，$s_i\to s_{i+1}$，$p_i\to i$，$p_i\to p_{i+1}$。

对于操作$1$，$s_i\to x$。

对于操作$2$，$x\to p_i$。

对于操作$3$，$s_x\to p_y$。

对于树上对一端为根的链连边，直接建内向树，然后连就好了。

线段树优化建图

适用形式：

1. 从$x$向$[l,r]$连边。

2. 从$[l,r]$向$x$连边。

3. 从$[l_1,r_1]$向$[l_2,r_2]$连边。

建两棵线段树。一棵父亲向儿子连边，叶子向对应节点连边。另一棵儿子向父亲连边，对应节点向叶子节点连边。不妨分别称为内向树和外向树。

对于操作$1$，从$x$向外向树上的对应$\log n$个点连边。

对于操作$2$，从内向树上的对应$\log n$个点向$x$连边。

对于操作$3$，新建一个虚点$p$，从$[l_1,r_1]$向$p$连边，$p$向$[l_2,r_2]$连边，这样与原问题是等价的。

CDQ分治优化建图

主席树优化建图

树套树优化建图