欧拉路相关技术

基础部分

概念：

• 欧拉回路：经过每条边恰好一次的回路（回到起点）。
• 欧拉通路：经过每条边恰好一次的通路（不回起点）。
• 欧拉图：具有欧拉回路的图。
• 半欧拉图：不具有欧拉回路，但具有欧拉通路的图。
• 有向图强连通：任意两个顶点都可以通过有向边相互到达。
• 有向图弱连通：将有向边换成无向边后，任意两个顶点连通。

性质：

• 欧拉图中所有顶点的度数都为偶数（不管有向无向）。
• 欧拉图为若干环的并，且每条边被包含在奇数个环中。
• 一张图中只会有偶数个奇度数点。
• 用边互不相交的路径覆盖一张图的边，所需的最少路径数为$\frac{1}{2}count(\mathrm{奇}\mathrm{度}\mathrm{数}\mathrm{点})$。

考虑证明最后一个性质：

设有$2n$个奇度数点，将其分成两两一组，共$n$组。

每组中相互连边，则图中不存在奇度数点，可以用$1$条欧拉回路覆盖。

将欧拉回路中新连的边删去，就形成了$n$条路径，故$ans\le n$。

一条路径至多将两个奇度数点变成偶度数点（即$2$个端点），故$ans\ge n$。

综上，$ans=n$。

判定：

• 无向图是欧拉图当且仅当：非零度顶点连通且顶点的度数都为偶数。
• 无向图是半欧拉图当且仅当：非零度顶点连通且恰有两个奇度数顶点。
• 有向图是欧拉图当且仅当：非零度顶点强连通且每个顶点入度和出度相等。
• 有向图是半欧拉图当且仅当：非零度顶点弱连通且至多一个顶点入度与出度差$1$且至多一个顶点出度与入度差$1$且其他每个顶点入度和出度相等

求欧拉路板子：

使用Hierholzer算法。

其核心是不断向当前路中的一个点中加入环。

考虑朴素做法：每次找到一个环，删掉其中所有边，并对其中每个点找环插入到答案中。用链式前向星维护每个点第一条有用的边，时间复杂度$O(n+m)$。

复杂度已足够优秀，但是实现很麻烦。实际上朴素做法是将环显示地找到再做其他操作。而找环的顺序对答案是没有影响的，所以我们可以将找环的顺序倒过来，即不必显式地找到当前环，只需在回溯的过程中一边对当前点找环，一边向答案中插入当前环。由于顺序倒过来了，所以答案也倒过来了。

得到流程：

• 对于当前节点$u$，遍历其所有未走过的出边$(u,v)$，对$v$深搜。
• 遍历完所有出边后，将当前节点$u$加入答案，最终得到的就是一条倒着的欧拉路。

要求字典序最小，对每个顶点的出边排序即可。

无向图中，要对边判重（一条边只能走正边或反边中的一条）。

欧拉路板子题

板子

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn=2e5+10;
int n,m,tot=0,s=0,tp=0,z=0,st[maxn],cur[maxn],head[maxn],ind[maxn];
vector<int> e[maxn];

inline void add(int u,int v){
	e[u].push_back(v);
}

void dfs(int u){
	for(int &i=cur[u];i<e[u].size();){
		dfs(e[u][i++]);
	}
	st[++tp]=u;
}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,u,v;i<=m;++i){
		scanf("%d%d",&u,&v);
		add(u,v);
		ind[v]++;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		sort(e[i].begin(),e[i].end());
		if(abs((int)e[i].size()-ind[i])>1){
			puts("No");
			return 0;
		}
		if(e[i].size()>ind[i]){
			if(s){
				puts("No");
				return 0;
			}
			else s=i;
		}
	}
	dfs(s?s:1);
	if(tp!=m+1){
		puts("No");
		return 0;
	}
	for(int i=tp;i>=1;--i){
		printf("%d ",st[i]);
	}
	return 0;
}