最小生成树相关技术

注意只有连通图才有生成树，图不连通就只有生成森林。

最小生成树的板子

Kruskal

基本思想是按边权从小到大加边，是贪心思想。

时间复杂度$O(m\log m)$。

板子

sort(e+1,e+tot+1,cmp);
for(int i=1;i<=tot;++i){
	int u=e[i].u,v=e[i].v;
	u=find(u),v=find(v);
	if(u==v) continue;
	fa[v]=u;
	ans+=g[i].w;
	if(--n<2) break;//总共只能加入n-1条边
}

Prim

基本思想是从一个点开始，不断加点。

具体而言，每次找距离已经确定的最小生成树部分最小的点加入最小生成树，并更新其他点到已确定的最小生成树部分的距离。

暴力的时间复杂度为$O(n^2+m)$，堆优化的时间复杂度为$O((n+m)\log n)$。

暴力板子

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn=5e3+10,maxm=2e5+10,inf=1e9+7;
int n,m,tot,ans,head[maxn],dis[maxn];
bool vis[maxn];
struct edge{
	int v,w,nxt;
}e[maxm<<1];

void add(int u,int v,int w){
	e[++tot].v=v;
	e[tot].w=w;
	e[tot].nxt=head[u];
	head[u]=tot;
}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i) dis[i]=inf;
	dis[1]=0;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int u,v,w;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		add(u,v,w);
		add(v,u,w);
	}
	queue<int> q;
	q.push(1);
	vis[1]=true;
	ans=1;
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
			int v=e[i].v;
			if(vis[v]) continue;
			vis[v]=true;
			q.push(v);
			ans++;
		}
	}
	if(ans!=n){
		puts("orz");
		exit(0);
	}
	ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i) vis[i]=false;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int mini=inf,u=0;
		for(int j=1;j<=n;++j){
			if(dis[j]<mini&&!vis[j]) mini=dis[j],u=j;
		}
		ans+=mini;
		vis[u]=true;
		for(int j=head[u];j;j=e[j].nxt){
			int v=e[j].v,w=e[j].w;
			if(dis[v]>w) dis[v]=w;
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

堆优化Prim板子

void Prim() {
  memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
  dis[1]=0;
  q.push({1,0});
  while(!q.empty()){
    if(cnt>=n) break;
    int u=q.top().u,d=q.top().d;
    q.pop();
    if(vis[u]) continue;
    vis[u]=1;
    ++cnt;
    res+=d;
    for (int i=h[u];i;i=e[i].x){
      int v=e[i].v,w=e[i].w;
      if(w<dis[v]) dis[v]=w,q.push({v,w});
    }
  }
}

Boruvka

某B开头的神秘MST算法。

在处理完全图上/边有很多特殊性质的MST时，Boruvka的思想很好用（虽然我们一般不会真的去写它）。

主要思想是每次找到每个连通块连上的最小的边，把它加入边集，然后不断重复，直到只有一个连通块。

初始时每个点都被视作独立的联通块。

就酱。

相关的技术

Kruskal重构树

我们在Kruskal的过程中建一棵树出来。

Kruskal从小到大加边，每次加边会合并两个集合，我们新建一个点，点权设为边权，左右儿子设为两个集合的根，然后把两个集合合并，以新建节点为根。

性质

原图上的每个点都是叶子，点权为$0$。

原图上两点间所有简单路径上最大边权的最小值=最小生成树上两点间的简单路径上的最大边权=Kruskal重构树上两点LCA的权值。

从一个点$x$到根的路径上的点权是单增的。

到点$x$的简单路径上最大边权的最小值$\le val$的点都在$x$到根的链上的某个点的子树内，且为该子树的所有叶子节点，且这个点满足点权$\le val$且最浅的。

要是将Kruskal的过程换成从大到小加边，则性质是类似的，“最大的最小”会变成“最小的最大”，其他推一下，其实很一眼。

把重构树建出来后就以解决树上问题的方式做。

P1967 [NOIP2013 提高组] 货车运输

从未见过的全新MST

度限制下最小生成树

Q：限制$u$在MST中的度数必须为$k$，求最小生成树。

Sol：

是wqs二分。考虑二分给每条$u$相连的边加上一个偏移量。