容斥+计数的练习（长期更新）

菜就多练。

朴素的容斥原理应用

I.P1450 [HAOI2008] 硬币购物

Q:

共有 $4$ 种硬币。面值分别为 $c_1,c_2,c_3,c_4$。

某人去商店买东西，去了 $n$ 次，对于每次购买，他带了 $d_i$ 枚 $i$ 种硬币，想购买 $s$ 的价值的东西。请问每次有多少种付款方法。

$$1\le s,d_i,c_i\le {10}^5,1\le n\le 1000$$

Sol：

找到限制：硬币的数量$d_i$。

考虑没有限制的情况：就是完全背包。

那么对硬币的数量套容斥原理，钦定有$i$种硬币的数量不符合限制，其他硬币随便（做完全背包）。那么将钦定的部分从$s$中减去，剩下的部分就是完全背包。然后对这个东西上容斥系数，那么就是和钦定的种数$i$相关，为$(-1{)}^i$。

完全背包部分可以在多测前预处理，于是一次询问中只有对$4$种硬币容斥算贡献的复杂度，显然可以接受。

II.P5505 [JSOI2011] 分特产

Q：

$n$个有标号盒子和$m$种有标号球，第$k$种球有$s_k$个（这之中无标号），每个盒子中至少放一个球。问方案数。

Sol：

找到限制是“每个盒子中至少放一个球”。

考虑没有限制的情况，对于每种球来说，就是无标号球放到有标号盒子中，盒子可以为空，直接插板法。对于每种球就直接乘起来（因为分步在做）。

于是对这个限制进行容斥。设当前钦定有$k$个盒子为空，其他任意，这个方案数为$f_k$。那么套上容斥系数，$ans=\sum _k(-1{)}^k{f}_k$。

如何证明这个容斥是对的？

考虑一种有$k$个盒子为空的方案，我们希望它被计数$[k=0]$次。考虑它在哪些地方被计数了。对于钦定有$i$个盒子为空的情况，它被计数了$(-1{)}^i{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{k-i})}$次。

那么对$i$求和，就可以得到它被计数的次数：

$$\begin{array}{rl}\sum _i(-1{)}^i{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{k-i})}& =\sum _i(-1{)}^i{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})\\ & ={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}\sum _i(-1{)}^i{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})}\\ & ={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}[k=0]\end{array}$$

当$k=0$时，${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}=1$。所以这个方案被计数了$[k=0]$次，是正确的。

回归主线，如何求$f_i$？

根据定义，首先选出$i$个盒子钦定为空，这是${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}$。然后对于任意一种小球$k$，放入可以为空的其余$n-i$个盒子中，那么就是${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{s_k+n-i-1}{n-i-1})}$。这是分步的，那么对于所有种类的小球，贡献为$\prod _k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{s_k+n-i-1}{n-i-1})}$

所以$f_i={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}\prod _k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{s_k+n-i-1}{n-i-1})}$。

于是就可以求了。

计数DP

练好DP就好了，所以去DP吧。