Game Theory（长期更新）
感觉Game Theory极其困难，尝试写一点东西。
OI中常见博弈分成几种：
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经典的模型以及转化。
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套不了模型，需要用定理和人类智慧分析。
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只是套着博弈的皮，实际上是在贪心/etc.
基本概念
组合游戏
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两人参与，双方交替行动。
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双方决策时都知道当前游戏局面的完整信息，并且知道可以转移到的状态。
完全信息博弈
博弈双方都知道对方目的。
平等博弈（无偏博弈）
决策集合只与游戏局面有关。可以知道在平等博弈中，只要游戏可以终止，那么每个状态都可以被分为先手必胜或者先手必败。
有向图博弈
是从平等博弈中抽象出的概念，将游戏状态抽象成点，将作出决策抽象为边，就构成了有向图。
如果有向图是DAG，那么可以拓扑排序处理出每个点的状态。否则可能在环处出现平局。
公平组合游戏
- 组合游戏，平等博弈，且平等博弈的有向图是DAG。无法行动的参与者为败者。
非公平组合游戏
- 与公平组合游戏的区别在于不是平等博弈。
反常游戏
- 与公平组合游戏的区别在于第一个无法行动的参与者为胜者。
理论基础
有向图博弈上得到的结论
定义\(P\)状态为先手必胜状态，\(N\)状态为先手必败状态。
通过有向图的模型，可以发现：
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一个状态为\(P\)，当且仅当其存在一个后继状态为\(N\)。
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一个状态为\(N\)，当且仅当其所有后继状态为\(P\)。
Sprague-Grundy定理
即SG定理。应对一般的公平组合游戏。
对于有向图（或者更进一步，DAG）上的博弈，对每个点定义\(SG\)函数。对于没有出边的点，函数值为\(0\)，表示这是一个\(N\)状态。对于其他结点，定义\(SG(u)=mex\{SG(v) | (u,v)\in E\}\)。
则一个结点为\(N\)当且仅当其\(SG\)函数为\(0\)。
Sprague-Grundy定理：对于多个平行进行的组合游戏构成的博弈，其整体的\(SG\)函数为各个组合游戏的\(SG\)函数值的异或和。
考虑证明这个东西，不会，参考OI-wiki。
使用时，要是可以直接通过递归式找到\(SG\)函数值更好，不能直接找到就直接找规律然后数归。
SJ定理
用以应对反常游戏，可以看做反常游戏中的SG定理。
经典模型
Ferguson Game
Q：有两堆石子\(n\)和\(m\)个，每次操作是清空其中一堆石子并将另一堆石子分成非空的两堆，无法操作者输，求\((n,m)\)的状态。
Sol：
可以发现终止状态为\((1,1)\)，为\(N\)。再想一步，就可以得到对任意\(x\)，\((2,x)\)为\(P\)，并且对于任意一种方式，过程中都会经过\((2,x)\)的状态。看到\(2\)以及加减运算，就可以考虑奇偶性了。现在就是要让对方拿不到\(P\)，即不会经过\((2,x)\)的状态。现在的目的转化为不让对方拿到\(2\)，并且让自己尽可能拿到\(2\)。对奇偶性分讨，若手上有一个偶数，就可以把它分成两个奇数给对方，于是对方不可能拿到\(2\)，对方必败，于是自己必胜。若手上都是奇数，无论如何操作，对方都可以拿到一个奇数和一个偶数，然后运用上一种策略使自己必败。
综上，可以得到结论：\((n,m)\)是\(P\)当且仅当\(n\)和\(m\)中有一个偶数。
Chomp Game
Q：有一块\(n\times m\)的网格，双人博弈，每次操作可以选择一块没有被删除的格子\((x_0,y_0)\)，并删除掉所有\((x,y)\)满足\(x\ge x_0,y\ge y_0\)的格子。删除了\((1,1)\)的人输。问\(P\)/\(N\)。
Sol：
可以发现，第一次操作后，\((n,m)\)这个格子一定被删掉了。假设先手必败：
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如果先手选的不是\((n,m)\)，那么可以改为选\((n,m)\)，于是就将一个\(N\)状态留给了另一个人。
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如果先手选的是\((n,m)\)，那么可以改为选另一个人第一次选的位置，于是就将自己的\(N\)状态留给了另一个人。
于是在修改决策后先手总是\(P\)，除了\(n=m=1\)时先手为\(N\)。
这一证明是非构造性的，很牛。
目前没有Chomp Game的一般性的必胜策略，也就是说给不出构造。
高维Chomp Game
几乎一样的证法，总是先手必胜，除非只有一块。
Bash Game
Q：双人博弈，有\(n\)个石子，每次操作可以取走\(x\in [1,m]\)个石子，无法操作者输。求当前局面的状态。
Sol：
首先可以关注较小的情况。当\(n\in [1,m]\)时，总是先手必胜的。而当\(n=m+1\)时，是先手必败的，因为每一个后继状态都是\(P\)。于是转化到有向图上，对于一个点\(x\)，其后继状态为\(x-1,x-2,\dots x-m\)。如果这些后继状态中有一个是\(m+1\)的倍数，那么这个后继状态就是\(N\)，于是当前状态为\(P\)。否则这些后继状态中没有\(m+1\)的倍数，那么\(x\)就是\(m+1\)的倍数，此时状态为\(N\)。
综上，先手必败当且仅当\(n\equiv 0\pmod {m+1}\)，否则先手必胜。
Nim Game
Q：有\(n\)堆石子，第\(k\)堆有\(a_k\)个，双人博弈，一次操作为选择一堆石子，从中取出至少一个。无法操作者输。问\(N\)/\(P\)。
Sol：
可以发现每一堆之间相互独立，于是这个游戏就是若干有向图游戏的组合，上SG定理，就可以只研究一堆之中的\(SG\)值。对于一堆\(x\)个石子，其后继状态为\(0,1,\dots,x-1\)，其中\(SG(0)=0\)。于是递推可知\(SG(x)=x\)。然后直接SG定理就好了。
Nim Game 的重要地位在于，一个\(SG=x\)的游戏，几乎是与一堆有\(x\)个石子的Nim游戏是等价的。唯一的不同之处在于，其他游戏可能会有\(SG>x\)的后继状态。但是可以证明，在最优策略下不会向\(SG\)更大的状态转移，因为后手的策略会更多。于是几乎等价。
这样的观点在Nim的各种变式中很有用。
Lasker's Nim Game
Q： 有\(n\)堆石子，双人博弈，一次操作可以选择一堆石子，从中取出至少一个，或者将其分成非空的两堆。问\(N\)/\(P\)。
Sol：
对每堆石子求\(SG\)，然后求异或和。
然后打表找规律，然后上数归。可证\(k\ge 1\)时，\(SG(4k)=4k-1,SG(4k+1)=4k+1,SG(4k+2)=4k+2,SG(4k+3)=4k+4\)
于是就酱。
Nim-k Game
Anti-Nim Game
Fibonacci Nim
Staircase Nim
Wythoff's Game
常见转化
先满足某种条件就获胜的转化——来自神秘棋盘游戏
Q：有一个\(m\times m\)的棋盘，其上有\(n\)枚棋子，双人博弈，每次操作可以选择一枚棋子，设其坐标为\((x,y)\)，那么可以将它移动到\((x,y-k)\)或\((x-k,y)\)或\((x-k,y-k)\)（\(k\in N_+\)）。第一个将一枚棋子移动到\((0,0)\)的人赢。求当前状态。
Sol：
棋子相互独立，然后上SG定理。可以发现两个人只要将棋子移到\((1,2)\)或者\((2,1)\)后就不会再动它（只要还有别的选择）。于是可以将这两个点设成终止点，然后就变成了正常的游戏，直接递推出每个点的\(SG\)函数就行。
可以类似转化各种“先满足某种条件便获胜”的游戏。
还有例子
Q：有\(1\times n\)的纸条，初始全为空，双人博弈。每次操作可以选择一个格子涂黑。第一个操作后有三个连续的格子为黑色的人获胜。问\(N\)/\(P\)。
Sol：
转化，当一个格子被涂黑后，后手一定不会涂这个格子旁边两格内的格子。于是就转化成第一个无法操作的人输的正常情况。
这等价于选取一个格子并删除以之为中心的\(5\)个格子，然后生成一个（边界的情况）或者两个相互独立的游戏。于是可以递归计算\(SG\)。
