Game Theory（长期更新）

感觉Game Theory极其困难，尝试写一点东西。

OI中常见博弈分成几种：

• 经典的模型以及转化。

• 套不了模型，需要用定理和人类智慧分析。

• 只是套着博弈的皮，实际上是在贪心/etc.

基本概念

组合游戏

• 两人参与，双方交替行动。

• 双方决策时都知道当前游戏局面的完整信息，并且知道可以转移到的状态。

完全信息博弈

博弈双方都知道对方目的。

平等博弈（无偏博弈）

决策集合只与游戏局面有关。可以知道在平等博弈中，只要游戏可以终止，那么每个状态都可以被分为先手必胜或者先手必败。

有向图博弈

是从平等博弈中抽象出的概念，将游戏状态抽象成点，将作出决策抽象为边，就构成了有向图。

如果有向图是DAG，那么可以拓扑排序处理出每个点的状态。否则可能在环处出现平局。

公平组合游戏

• 组合游戏，平等博弈，且平等博弈的有向图是DAG。无法行动的参与者为败者。

非公平组合游戏

• 与公平组合游戏的区别在于不是平等博弈。

反常游戏

• 与公平组合游戏的区别在于第一个无法行动的参与者为胜者。

理论基础

有向图博弈上得到的结论

定义$P$状态为先手必胜状态，$N$状态为先手必败状态。

通过有向图的模型，可以发现：

• 一个状态为$P$，当且仅当其存在一个后继状态为$N$。

• 一个状态为$N$，当且仅当其所有后继状态为$P$。

Sprague-Grundy定理

即SG定理。应对一般的公平组合游戏。

对于有向图（或者更进一步，DAG）上的博弈，对每个点定义$SG$函数。对于没有出边的点，函数值为$0$，表示这是一个$N$状态。对于其他结点，定义$SG(u)=mex\{SG(v)|(u,v)\in E\}$。

则一个结点为$N$当且仅当其$SG$函数为$0$。

Sprague-Grundy定理：对于多个平行进行的组合游戏构成的博弈，其整体的$SG$函数为各个组合游戏的$SG$函数值的异或和。

考虑证明这个东西，不会，参考OI-wiki。

使用时，要是可以直接通过递归式找到$SG$函数值更好，不能直接找到就直接找规律然后数归。

SJ定理

用以应对反常游戏，可以看做反常游戏中的SG定理。

经典模型

Ferguson Game

Q：有两堆石子$n$和$m$个，每次操作是清空其中一堆石子并将另一堆石子分成非空的两堆，无法操作者输，求$(n,m)$的状态。

Sol：

可以发现终止状态为$(1,1)$，为$N$。再想一步，就可以得到对任意$x$，$(2,x)$为$P$，并且对于任意一种方式，过程中都会经过$(2,x)$的状态。看到$2$以及加减运算，就可以考虑奇偶性了。现在就是要让对方拿不到$P$，即不会经过$(2,x)$的状态。现在的目的转化为不让对方拿到$2$，并且让自己尽可能拿到$2$。对奇偶性分讨，若手上有一个偶数，就可以把它分成两个奇数给对方，于是对方不可能拿到$2$，对方必败，于是自己必胜。若手上都是奇数，无论如何操作，对方都可以拿到一个奇数和一个偶数，然后运用上一种策略使自己必败。

综上，可以得到结论：$(n,m)$是$P$当且仅当$n$和$m$中有一个偶数。

Chomp Game

Q：有一块$n\times m$的网格，双人博弈，每次操作可以选择一块没有被删除的格子$(x_0,y_0)$，并删除掉所有$(x,y)$满足$x\ge x_0,y\ge y_0$的格子。删除了$(1,1)$的人输。问$P$/$N$。

Sol：

可以发现，第一次操作后，$(n,m)$这个格子一定被删掉了。假设先手必败：

• 如果先手选的不是$(n,m)$，那么可以改为选$(n,m)$，于是就将一个$N$状态留给了另一个人。

• 如果先手选的是$(n,m)$，那么可以改为选另一个人第一次选的位置，于是就将自己的$N$状态留给了另一个人。

于是在修改决策后先手总是$P$，除了$n=m=1$时先手为$N$。

这一证明是非构造性的，很牛。

目前没有Chomp Game的一般性的必胜策略，也就是说给不出构造。

高维Chomp Game

几乎一样的证法，总是先手必胜，除非只有一块。

Bash Game

Q：双人博弈，有$n$个石子，每次操作可以取走$x\in [1,m]$个石子，无法操作者输。求当前局面的状态。

Sol：

首先可以关注较小的情况。当$n\in [1,m]$时，总是先手必胜的。而当$n=m+1$时，是先手必败的，因为每一个后继状态都是$P$。于是转化到有向图上，对于一个点$x$，其后继状态为$x-1,x-2,\dots x-m$。如果这些后继状态中有一个是$m+1$的倍数，那么这个后继状态就是$N$，于是当前状态为$P$。否则这些后继状态中没有$m+1$的倍数，那么$x$就是$m+1$的倍数，此时状态为$N$。

综上，先手必败当且仅当$n\equiv 0(\mathrm{mod}m+1)$，否则先手必胜。

Nim Game

Q：有$n$堆石子，第$k$堆有$a_k$个，双人博弈，一次操作为选择一堆石子，从中取出至少一个。无法操作者输。问$N$/$P$。

Sol：

可以发现每一堆之间相互独立，于是这个游戏就是若干有向图游戏的组合，上SG定理，就可以只研究一堆之中的$SG$值。对于一堆$x$个石子，其后继状态为$0,1,\dots ,x-1$，其中$SG(0)=0$。于是递推可知$SG(x)=x$。然后直接SG定理就好了。

Nim Game 的重要地位在于，一个$SG=x$的游戏，几乎是与一堆有$x$个石子的Nim游戏是等价的。唯一的不同之处在于，其他游戏可能会有$SG>x$的后继状态。但是可以证明，在最优策略下不会向$SG$更大的状态转移，因为后手的策略会更多。于是几乎等价。

这样的观点在Nim的各种变式中很有用。

Lasker's Nim Game

Q： 有$n$堆石子，双人博弈，一次操作可以选择一堆石子，从中取出至少一个，或者将其分成非空的两堆。问$N$/$P$。

Sol：

对每堆石子求$SG$，然后求异或和。

$$SG(z)=mex\{\{SG(x)|0\le x<z\}\cup \{SG(x)\oplus SG(y)|x+y=z\}\}$$

然后打表找规律，然后上数归。可证$k\ge 1$时，$SG(4k)=4k-1,SG(4k+1)=4k+1,SG(4k+2)=4k+2,SG(4k+3)=4k+4$

于是就酱。

Nim-k Game

Anti-Nim Game

Fibonacci Nim

Staircase Nim

Wythoff's Game

常见转化

先满足某种条件就获胜的转化——来自神秘棋盘游戏

Q：有一个$m\times m$的棋盘，其上有$n$枚棋子，双人博弈，每次操作可以选择一枚棋子，设其坐标为$(x,y)$，那么可以将它移动到$(x,y-k)$或$(x-k,y)$或$(x-k,y-k)$（$k\in N_{+}$）。第一个将一枚棋子移动到$(0,0)$的人赢。求当前状态。

Sol：

棋子相互独立，然后上SG定理。可以发现两个人只要将棋子移到$(1,2)$或者$(2,1)$后就不会再动它（只要还有别的选择）。于是可以将这两个点设成终止点，然后就变成了正常的游戏，直接递推出每个点的$SG$函数就行。

可以类似转化各种“先满足某种条件便获胜”的游戏。

还有例子

Q：有$1\times n$的纸条，初始全为空，双人博弈。每次操作可以选择一个格子涂黑。第一个操作后有三个连续的格子为黑色的人获胜。问$N$/$P$。

Sol：

转化，当一个格子被涂黑后，后手一定不会涂这个格子旁边两格内的格子。于是就转化成第一个无法操作的人输的正常情况。
这等价于选取一个格子并删除以之为中心的$5$个格子，然后生成一个（边界的情况）或者两个相互独立的游戏。于是可以递归计算$SG$。