生成函数

写在前面

有很多方法可以从一个级数生成一个数列，一般来说，只要选取$K_n(z)$满足

$$\sum _n{g}_n{K}_n(z)=0\Rightarrow \mathrm{\forall }n,g_n=0$$

即可。

一般来说，若无特别定义，下指标为负的部分全为$0$。

写GF要特别注意位置$0$。

在一定语境中，$G(z)$会简写为$G$。

和多项式之间

联系密切，因为生成函数化出来的东西要使用多项式技术去实现。

这二者都是形式幂级数：$\sum _{n\ge 0}{a}_n{z}^n$，我们不必考虑其收敛性。

在上面可以定义各种运算。特别地，$\exp$和$\ln$使用了麦克劳林展开来定义。

$$\begin{array}{rl}\exp (F)& =\sum _{n\ge 0}{\displaystyle \frac{F^n}{n!}}\\ \ln (F+1)& =\sum _{n\ge 1}(-1{)}^{n+1}{\displaystyle \frac{F^n}{n}}\end{array}$$

可以验证$F$的乘法逆存在当且仅当$f_0\ne 0$，若存在则唯一。

OGF的$k$次幂的组合意义

$$\begin{array}{rl}{F}^k& =\sum _{n\ge 0}[\sum _{\sum _{1\le t\le k}{a}_t=n}\prod _{1\le j\le k}{f}_{a_j}]z^n\end{array}$$

EGF的$k$次幂的组合意义

$$\begin{array}{rl}{\hat{F}}^k& =\sum _{n\ge 0}[\sum _{\sum _{1\le t\le k}{a}_t=n}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{a_1,a_2,\dots ,a_k})}\prod _{1\le j\le k}{\displaystyle \frac{f_{a_j}}{a_j!}}]{\displaystyle \frac{z^n}{n!}}\end{array}$$

$n$个有标号元素分到$k$个有标号集合中形成具有特殊性质的组合结构的方案数的EGF。

EGF的$\exp$的组合意义

我们给EGF中的系数赋予一个组合意义：$f_k$表示将$k$个元素构成具有特殊性质的组合结构的方案数（比如说构成DAG，构成二叉树etc.）。

设$F_k(n)$表示将$n$个有标号元素划分为$k$个非空无序集合（无标号）且构成特殊结构的情况的方案数，那么：

$$F_k(n)={\displaystyle \frac{n!}{k!}}\sum _{\sum _{1\le i\le k}{a}_i=n}\prod _{1\le j\le k}{\displaystyle \frac{f_{a_j}}{a_j!}}$$

设$\hat{F}=\sum _{n\ge 0}{f}_n{\displaystyle \frac{z^n}{n!}}$，$G_k=\sum _{n\ge 0}{F}_k(n){\displaystyle \frac{z^n}{n!}}$。

化一下：

$$\begin{array}{rl}{G}_k& =\sum _{n\ge 0}{F}_k(n){\displaystyle \frac{z^n}{n!}}\\ & =\sum _{n\ge 0}{\displaystyle \frac{n!}{k!}}\sum _{\sum _{1\le i\le k}{a}_i=n}\prod _{1\le j\le k}{\displaystyle \frac{f_{a_j}}{a_j!}}{\displaystyle \frac{z^n}{n!}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{k!}}\sum _{n\ge 0}{z}^n\sum _{\sum _{1\le i\le k}{a}_i=n}\prod _{1\le j\le k}{\displaystyle \frac{f_{a_j}}{a_j!}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{k!}}\sum _{n\ge 0}\sum _{\sum _{1\le i\le k}{a}_i=n}\prod _{1\le j\le k}{\displaystyle \frac{f_{a_j}{z}^{a_j}}{a_j!}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{k!}}{\hat{F}}^k\end{array}$$

左右两边对$k$求和：

$$\sum _{k\ge 0}{G}_k=\sum _{k\ge 0}{\displaystyle \frac{1}{k!}}{\hat{F}}^k=\exp \hat{F}$$

尝试取第$n$项系数看看是什么东西：

$$[z^n]\exp \hat{F}=\sum _{k\ge 0}[z^n]G_k={\displaystyle \frac{1}{n!}}\sum _{k\ge 0}{F}_k(n)$$

就是把$n$个有标号元素分成若干个 无标号集合，每个集合中形成具有特殊性质的组合结构的方案数的EGF。

大概就这样。太菜了。

Euler变换

还是写在符号化方法吧。

普通生成函数

选取$K_n(z)=z^n$。

通常记$A(z)=\sum _{n\ge 0}{a}_n{z}^n$为序列$\{a_n\}$的普通生成函数（OGF）。

给出一些容易遗忘的运算：

• $z^{m}G(z)=\sum _n{g}_{n-m}{z}^n,m>0$

• ${\displaystyle \frac{G(z)-g_0-g_{1}z\cdots -g_{m-1}{z}^{m-1}}{z^m}}=\sum _{n\ge 0}{g}_{n+m}{z}^n,m>0$

• $G(cz)=\sum _{n\ge 0}{g}_n{c}^n{z}^n$

• $G^{\prime }(z)=\sum _n(n+1)g_{n+1}{z}^n$

• $z{G}^{\prime }(z)=\sum _{n}n{g}_n{z}^n$

• ${\int }_0^{z}G(t)\mathrm{d}t=\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n}{g}_{n-1}{z}^n$

特别的，$[z^n]F(z)G(z)=\sum _k{f}_k{g}_{n-k}$，相乘就是得到了数列的卷积。

特别有用的式子${\displaystyle \frac{1}{1-z}}$是$\{a_n=1\}$的OGF。

特别有用的运算：

• $[z^n]{\displaystyle \frac{1}{1-z}}G(z)=\sum _{k\le n}{g}_k$，即做前缀和。

• $({\displaystyle \frac{1}{1-z}}{)}^{(n)}$可以提供形如$i^{\underset{―}{n}}$的因子。

• $[z^n]{\displaystyle \frac{1}{(1-z{)}^c}}={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{c+n-1}{n})}$，诸如此类。

提取标号为偶数项：${\displaystyle \frac{G(z)+G(-z)}{2}}$，提取标号为奇数项：${\displaystyle \frac{G(z)-G(-z)}{2}}$

解递归式

1. 用数列中其他元素写出一个关于$n$的单个方程，这个方程应该对所有整数$n$成立。可能需要利用艾弗森括号之类的。注意边界。

2. 用$z^n$乘两边，并在两边对$n$求和。左边就是$G$，右边应该处理成含有$G$的式子。

3. 解方程得到$G$的封闭形式。

4. 提取$G$的第$n$项系数。

如果解方程得到了多个根，验证$G(0)=g_0$是否为正确的数值来舍。

多重卷积

$\{f_n\}$和$\{g_n\}$卷积后再与$\{h_n\}$卷积，得到：

$$[z^n]F(z)G(z)H(z)=\sum _{j+k+l=n}{f}_j{g}_k{h}_l$$

更加多重的形式也类似。

特别的，我们关注自己与自己的$m$次卷积，得到：

$$[z^n]G^m=\sum _{k_1+k_2+\cdots +k_m=n}{g}_{k_1}{g}_{k_2}\cdots g_{k_m}$$

很有用。

指数生成函数

有这个东西是因为有时候$\{g_n\}$的OGF很难求，而$\{{\displaystyle \frac{g_n}{n!}}\}$的OGF很好求，性质良好。

选取$K_n(z)={\displaystyle \frac{z^n}{n!}}$，称之为EGF。

$\{g_n\}$的EGF为$\hat{G}(z)=\sum _{n\ge 0}{g}_n{\displaystyle \frac{z^n}{n!}}$。但同时$\hat{G}$也是$\{{\displaystyle \frac{g_n}{n!}}\}$的OGF。

运算：

• $z\hat{G}(z)=\sum _{n\ge 0}{g}_n{\displaystyle \frac{z^{n+1}}{n!}}=\sum _{n\ge 0}n{g}_{n-1}{\displaystyle \frac{z^n}{n!}}$

• $[z^n]{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}\hat{G}(z)=g_{n+1}$，相当于左移。

• $[z^n]{\int }_0^z\hat{G}(t)\mathrm{d}t=g_{n-1}$，相当于右移。

特别的，$[z^n]\hat{F}(z)\hat{G}(z)=\sum _k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}{f}_k{g}_{n-k}$，称之为数列的二项卷积。

$\{g_n=k^n\}$的EGF为$\hat{G}(z)=\sum _{n\ge 0}{k}^n{\displaystyle \frac{z^n}{n!}}=e^{kz}$。

多重卷积

大多数时候是自己与自己卷积，不同的EGF进行多重卷积是类似的。

$$[z^n]G^m=\sum _{k_1+k_2+\cdots +k_m=n}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\cdots ,k_m})}{g}_{k_1}{g}_{k_2}\cdots g_{k_m}$$

通常两边还会继续同除以$n!$。

Dirichlet生成函数

概率生成函数

符号化方法