基本技巧（长期更新）

贪心

贪心总结

分治

分治总结

二分

看到使最大值最小或者使最小值最大时都可以尝试上二分。

注意二分的问题要有单调性（在某一点之前都不满足，之后都满足）。

二分的$n$种写法

虽然令人难蚌，但二分有很多种写法，尽量都了解/掌握。

虽然说是很多种写法但还是就记录主流的吧QwQ

第一种：

个人认为最好写最好理解的一种

在单调递增序列$a$中查找第一个大于等于$x$的值的位置。

区间为$[l,r]$，最终答案为$ans$。

\\初始化l,r,并且ans=-1

while(l<=r){
  int mid=l+r>>1;
  if(a[mid]>=x) ans=mid,r=mid-1;//l=mid+1或者r=mid-1，根据题目和自己写的check判断。
  else l=mid+1;
}

\\最后得到的ans即为答案，如果ans=-1则无解

第二种：

分为两套。答案都处于$[l,r]$中，循环以$l=r$结束，每次二分的中间值$mid$属于左右两段之一。

1. 在单调递增序列$a$中查找第一个大于等于$x$的值的位置（$x$或$x$的后继）。

while(l<r){
  int mid=l+r>>1;
  if(a[mid]>=x) r=mid;
  else l=mid+1;
}

//最终l即为答案

2. 在单调递增序列$a$中查找最后一个小于等于$x$的值的位置（$x$或$x$的前驱）。

while(l<r){
  int mid=l+r+1>>1;
  if(a[mid]<=x) l=mid;
  else r=mid-1;
}

//最终l即为答案

总结一下两种形式：

1. 缩小范围时，$r=mid,l=mid+1$，取中间值时，$mid=l+r\gg 1$。

2. 缩小范围时，$l=mid,r=mid-1$，取中间值时，$mid=l+r+1\gg 1$。

接下来说明$2$中对$mid$的取法作区分是必须的。

假如$2$中同样采用$mid=l+r\gg 1$，那么当$r-l=1$时，$mid=l+r\gg 1=l$，此时如果$l=mid$，区间未缩小；如果$r=mid-1$，造成$l>r$，循环不能以$l=r$结束。因此是必须的。

注意必须采用$\gg$而非$/$，这是因为$\gg$向下取整，而$/$向零取整，当$[l,r]$含负数时后者无法正常工作。

特别的作用：我们观察一下，$mid=l+r\gg 1$取不到$r$，$mid=l+r+1\gg 1$取不到$l$,可以借此处理无解的情况。将最初的区间向左/向右拓宽一位，包含一个越界的下标。如果最后的答案停留在这个越界的下标上，就说明无解。

终止时$l=r$，若有解，此处便是答案。

实数域上二分

比整数域上的简单多了

首先要确定二分精度$eps$，以$l+eps<r$为循环条件，每次依据$mid$处的判定选择$l=mid$或者$r=mid$分支之一即可。

一般来说，要保留$k$位小数时，设置$eps={10}^{-(k+2)}$。

注意此时就只能使用$/$了。

while(l+eps<r){
  double mid=(l+r)/2;
  if(check(mid)) l=mid;
  else r=mid;
}

也可以用固定循环次数的二分，精度通常比设置$eps$高。

for(int i=0;i<100;++i){
  double mid=(l+r)/2;
  if(check(mid)) l=mid;
  else r=mid;
}

二分的重要思想

最优化问题也能抽象为函数。

要二分答案，函数就要有单调性，即在一边都不合法，一边都合法。

把求最优解的问题转化为判定是否能构造出解为$mid$的方案。

wqs二分

去看DP优化。

倍增

前缀和与差分

启发式搜索和迭代加深

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