2024.6.29杂谈（高斯消元，矩阵，数论，搜索）

高斯消元和矩阵相关

高斯消元

高斯消元板子

高斯消元：消成阶梯矩阵，从下往上回带。

高斯约旦消元：消成对角矩阵，直接算。

注意解的情况：

（1）存在一行系数全为 $0$ 但常数项不为 $0$，无解。

（2）有 $k$ 个全 $0$ 行，就有 $k$ 个自由元，有无数解。

（3）Otherwise，有唯一解。

矩阵相关

矩阵乘法和快速幂

$A\times B=C$ 时，$C_{ij}=\sum _{k=1}^n{A}_{ik}\times B_{kj}$，矩阵乘法没有交换律。

inline mat operator*(const mat& b){
	mat res;
	int t;
	for(int i=1;i<=sz;++i)
	{
		for(int k=1;k<=sz;++k)
		{
			t=a[i][k];
			for(int j=1;j<=sz;++j)
			{
				res.a[i][j]+=b.a[k][j]*t;
				res.a[i][j]%=mod;
			}
		}
	}
	return res;
}

快速幂正常写就好。

矩阵求逆

$A\times A^{-1}=I$，求 $A^{-1}$。

定义：单位矩阵 $E$ 做一次 初等变换 得到的矩阵称为初等矩阵。

一个定理：$\text{矩阵}A\text{可逆}\iff A\text{可以表示成一些初等矩阵的乘积}$。

又一个定理：$A$ 左乘一个初等矩阵，相当于做一次初等 行 变换。

所以 $A^{-1}=P_1{P}_2......P_n$

两侧同时右乘 $A$，$P_1{P}_2......P_{n}A=E$

所以当 $A$ 做一系列初等行变换后变成 $E$ 时，$E$ 也做相同的初等行变换，就可以得到 $A^{-1}$。

做的时候可以将 $E$ 接在 $A$ 的后面，然后对 $A$ 高斯消元成 $E$，若第 $i$ 行第 $i$ 列为 $0$,则 $A$ 不可逆。

欧拉函数，莫比乌斯函数复习

欧拉函数

$\phi (n)$：小于等于 $n$ 的数中与 $n$ 互质的数的个数。

显然 $\phi (1)=1$，对于一个质数 $p$，$\phi (p)=p-1$。

性质：

（1）$\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)(gcd(a,b)=1)$，即 $\phi$ 是积性函数。

（2）$n=\sum _{d|n}\phi (d)$

证：设 $f_i$ 表示 $gcd(k,n)=i$ 的 $k$ 的个数，容易发现 $n=\sum _{i=1}^n{f}_i$，又有 $f_i=\phi (\frac{n}{i})$，

所以 $n=\sum _{d|n}\phi (\frac{n}{d})=\sum _{d|n}\phi (d)$。

（3）若 $p$ 是质数，则 $\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac{1}{p})$。

（4）设 $n=\prod _{i=1}^s{p}_i^{k_i}$，那么 $\phi (n)=\prod _{i=1}^s\phi (p_i^{k_i})=n\prod _{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i})$。

由性质（2），可以将 $gcd$ 等式子化成 $\phi$ 之和。

欧拉定理

若 $gcd(a,m)=1$ ，则 $a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$

扩展一下：$a^b=\{\begin{array}{ll}{a}^{bmod\phi (p)}& gcd(a,p)=1\\ a^b& gcd(a,p)\ne 1,b<\phi (p)\\ a^{bmod\phi (p)+\phi (p)}& gcd(a,p)\ne 1,b\ge \phi (p)\end{array}$

筛 $\phi$

先是一般质数筛。

（1）当 $i\equiv 0(\mathrm{mod}prim{e}_j)$，$\phi (i\ast prim{e}_j)=\phi (i)\times prim{e}_j$

（2）Otherwise，$\phi (i\ast prim{e}_j)=\phi (i)\times (prim{e}_j-1)$

莫比乌斯函数

$\mu (n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& n\text{存在平方因子}\\ (-1{)}^k& k\text{为}n\text{的本质不同质因子个数}\end{array}$

性质：

$ϵ(n)=\sum _{d|n}\mu (d)=[n=1]$

证：

设 $n=\prod _{i=1}^s{p}_i^{k_i},n^{\prime }=\prod _{i=1}^s{p}_i$，则 $\sum _{d|n}\mu (d)=\sum _{d|n^{\prime }}\mu (d)=\sum _{i=0}^s(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{i})\cdot (-1{)}^i=(1+(-1){)}^s=ϵ(n)$

由性质，可以将 $[gcd=1]$ 等式子化成 $\sum _{d|n}\mu (d)$ 的形式。

搜索复习

$A^{\ast }\text{和}ID{A}^{\ast }$ 中估价 $\le$ 实际价。