cf 1033 D. Divisors - 假的rho + 质因子 - 挺有意思的数论题

传送门
给出\(n\)个数字，然后把这\(n\)个数字相乘，求最后数字的约数个数
这\(n\)个数每个数字的约数个数是\([3,5]\)

看了一眼，哟吼，rho啊，把数字质因子分解，然后答案就是\(\prod_{i = 1}^m(cnt_i+1)\) 交了一发，tle了。

仔细看，一个数的约数个数是\([3,5]\)，那么有这么几种可能

• \(a * b\)
• \(a^b\)
• \(a^3\)
• \(a^4\)

其中\(a,b\)都是质数
后三种比较好判断，直接开根号就行了，对于第一种情况。
我们用两个map，一个用于统计质因子的个数，另一个也就说第一种情况。

按照公式来说，必须把所有出现过的质因子放一起计算，也就说样例1的15，如果说不能分解为后三种情况，那么也就是第一种情况。15是两个质数的乘积。那么按照公式，需要把3的幂加1，那么也就是说我们取遍历一下，找到15和其他数字是否存在gcd，如果存在，那边gcd就是其中一个质数，就需要进行统计，放进第一个map里面。而对于没有gcd的情况。就直接记录到第二个map里面，因为这个数字的两个质因子肯定没有出现过，那么按照公式就相当于直接乘4就行了。

std::map<ll, int> mp;
std::map<ll, int> mp2;
ll aa[1000];
int nn;
ll cal(ll x){
    ll n = x;
    ll a = pow(n, 1.0 / 2) - 1, b = pow(n, 1.0 / 3) - 1, c = pow(n, 1.0 / 4) - 1;
    while(qpow(a, 2) < n) a++;
    while(qpow(b, 3) < n) b++;
    while(qpow(c, 4) < n) c++;
    if(qpow(c, 4) == n) return mp[c] += 4;
    if(qpow(b, 3) == n) return mp[b] += 3;
    if(qpow(a, 2) == n) return mp[a] += 2;
    for(int i = 1; i <= nn; i++) {
        ll g = gcd(n, aa[i]);
        if(g != 1 && aa[i] != n)  {
            return mp[n / g]++, mp[g]++;
        }
    }
    return mp2[n]++;
}
void solve(int kase){
    cin >> nn;
    for(int i = 1; i <= nn; i++) {
        scanf("%lld", &aa[i]);
    }
    for(int i = 1; i <= nn; i++) cal(aa[i]);
    ll ans = 1;
    
    for(auto xx : mp) {
        ans = ans * (xx.second + 1) % CM;
    }
    for(auto xx : mp2) {
        ans = ans * (xx.second + 1) * (xx.second + 1) % CM;
    }
    printf("%lld\n", ans);
}