卷积全家桶

你可能会问为什么这里只有 FWT，因为 FFT 和 NTT 我懒得写，好了，FFT 和 NTT 在写，2~3 天后补上。

快速沃尔什变换（FWT）

变换内容

快速沃尔什变换（下称 FWT）通常用来解决的问题形如

$$\begin{array}{}\text{(1)}& C_k=\sum _{i\otimes j=k}{A}_i{B}_j\end{array}$$

其中，$\otimes$ 是一种二元运算。与 FFT 中的加法不同，$\otimes$ 一般是位运算，它可以按位计算。

显然，对于数组（向量）$X$，我们需要构造 $\text{FWT}(X)$（它也是一个数组），使得对于任意的 $i$，满足

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \text{FWT}(C{)}_i=\text{FWT}(A{)}_i\cdot \text{FWT}(B{)}_i\end{array}$$

这样，我们可以通过求出 $\text{FWT}(A)$ 和 $\text{FWT}(B)$ 来求出 $\text{FWT}(C)$，再通过逆 FWT 来求出 $C$。

那么，如何构造 $\text{FWT}(X)$ 呢？一种显然的构造是

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \text{FWT}(X{)}_i=\sum _j{c}_{i,j}{X}_j\end{array}$$

上述构造意在通过 $c_{i,j}(c_{i,j}=0/1)$ 来建立起来 $i$ 和 $j$ 的联系，我们将它带回 $(2)$ 中，这样，对于任意的 $i$，有

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \sum _j{c}_{i,j}{C}_j=(\sum _j{c}_{i,j}{A}_j)\cdot (\sum _j{c}_{i,j}{B}_j)\end{array}$$

进一步地，有

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \sum _j{c}_{i,j}{C}_j=\sum _{k,l}{c}_{i,k}{c}_{i,l}{A}_k{B}_l\end{array}$$

由 $(1)$，有

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{rl}\sum _j{c}_{i,j}{C}_j& =\sum _j{c}_{i,j}\sum _{k\otimes l=j}{A}_k{B}_l\\ & =\sum _j\sum _{k\otimes l=j}{c}_{i,k\otimes l}{A}_k{B}_l\\ & =\sum _{k,l}{c}_{i,k\otimes l}{A}_k{B}_l\end{array}\end{array}$$

与 $(5)$ 联立，容易发现可以有

$$\begin{array}{}\text{(7)}& c_{i,k}{c}_{i,l}=c_{i,k\otimes l}\end{array}$$

好的，现在我们发现了 $c$ 的一个重要性质！在后面将会用到。

下面，我们开始求 $\text{FWT}(X{)}_i$。设 $X$ 的长度为 $n$，记 $x_{(j)}$ 表示 $x$ 在二进制下从低往高第 $j$ 位的值，设 $k$ 为 $n$ 在二进制下的最高位，记 $i^{\prime },j^{\prime }$ 表示分别去掉 $i,j$ 的第 $k$ 位后的值。根据 $(3)$，将 $\text{FWT}(X{)}_i$ 分成两半，有

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{rl}\text{FWT}(X{)}_i& =\sum _j{c}_{i,j}{X}_j\\ & =\sum _{j=0}^{(n/2)-1}{c}_{i,j}{X}_j+\sum _{j=(n/2)}^{n-1}{c}_{i,j}{X}_j\end{array}\end{array}$$

分开考虑它们下标（就是 $j$）的（二进制）第 $k$ 位，显然，前半部分的是 $0$，后半部分的是 $1$，再根据 $\otimes$ 的性质和 $(7)$，有

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{rl}\text{FWT}(X{)}_i& =\sum _{j=0}^{(n/2)-1}{c}_{i,j}{X}_j+\sum _{j=(n/2)}^{n-1}{c}_{i,j}{X}_j\\ & =c_{i_{(k)},0}\sum _{j=0}^{(n/2)-1}{c}_{i^{\prime },j^{\prime }}{X}_j+c_{i_{(k)},1}\sum _{j=(n/2)}^{n-1}{c}_{i^{\prime },j^{\prime }}{X}_j\end{array}\end{array}$$

这里，对于 $(n/2)\le j<n$，有 $c_{i^{\prime },j^{\prime }}=c_{i,j}$，而且对于 $0\le j<(n/2)$，有 $j^{\prime }=j$，那么有

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \begin{array}{rl}\text{FWT}(X{)}_i& =c_{i_{(k)},0}\sum _{j=0}^{(n/2)-1}{c}_{i^{\prime },j^{\prime }}{X}_j+c_{i_{(k)},1}\sum _{j=(n/2)}^{n-1}{c}_{i^{\prime },j^{\prime }}{X}_j\\ & =c_{i_{(k)},0}\sum _{j=0}^{(n/2)-1}{c}_{i^{\prime },j}{X}_j+c_{i_{(k)},1}\sum _{j=(n/2)}^{n-1}{c}_{i,j}{X}_j\end{array}\end{array}$$

其实，两个 $\sum$ 每个都可以看作一个子问题。记 $X_0$ 为 $X$ 中下标在 $0\sim (n/2)-1$ 范围内的数成的数组，$X_1$ 表是 $X$ 中下标在 $(n/2)\sim n-1$ 范围内的数成的数组（在 $X_1$ 中起始位置为 $0$）。这样分割开 $X$ 后，对于在 $X$ 中的下标 $i$，它在 $X_1$ 中的位置为 $i-(n/2)$，即 $i\leftarrow i^{\prime }$，那么有

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \begin{array}{rl}\text{FWT}(X{)}_i& =c_{i_{(k)},0}\sum _{j=0}^{(n/2)-1}{c}_{i^{\prime },j}{X}_j+c_{i_{(k)},1}\sum _{j=(n/2)}^{n-1}{c}_{i,j}{X}_j\\ & =c_{i_{(k)},0}\cdot \text{FWT}(X_0{)}_{i^{\prime }}+c_{i_{(k)},1}\cdot \text{FWT}(X_1{)}_i\\ & =c_{i_{(k)},0}\cdot \text{FWT}(X_0{)}_{i^{\prime }}+c_{i_{(k)},1}\cdot \text{FWT}(X_1{)}_{i^{\prime }}\end{array}\end{array}$$

下面我们将对 $i_{(k)}$ 分类讨论。若 $i_{(k)}=0$，有

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \text{FWT}(X{)}_i=c_{0,0}\cdot \text{FWT}(X_0{)}_{i^{\prime }}+c_{0,1}\cdot \text{FWT}(X_1{)}_{i^{\prime }}\end{array}$$

否则，有

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \text{FWT}(X{)}_i=c_{1,0}\cdot \text{FWT}(X_0{)}_{i^{\prime }}+c_{1,1}\cdot \text{FWT}(X_1{)}_{i^{\prime }}\end{array}$$

尝试去掉 $i$。记 $\text{FWT}(X)$ 的前半部分（即 $i_{(k)}=0$ 的部分）记为 ${\text{FWT}}_0(X)$，后半部分记为 ${\text{FWT}}_1(X)$，那么 $\text{FWT}(X)$ 为它们首尾拼接起来，此时有

$$\begin{array}{}\text{(14)}& {\text{FWT}}_0(X)=c_{0,0}\cdot \text{FWT}(X_0)+c_{0,1}\cdot \text{FWT}(X_1)\end{array}$$

和

$$\begin{array}{}\text{(15)}& {\text{FWT}}_1(X)=c_{1,0}\cdot \text{FWT}(X_0)+c_{1,1}\cdot \text{FWT}(X_1)\end{array}$$

这里的加号表示数组对位相加，乘号表示数组中所有数都乘上一个数，下同。

综合以上，我们成功地将 $\text{FWT}(X)$ 分拆成了两个大小相同的子问题。这样，我们可以通过分治在 $O(n\log n)$ 的时间复杂度内求出 $\text{FWT}(X)$。

等等！还没完！我们还只是通过 $(2)$ 求出了 $\text{FWT}(C)$，那么如何求出 $C$ 呢？下面我们将介绍逆 FWT。

记 $\text{IFWT}(X)$ 表示逆 FWT（${\text{IFWT}}_{0/1}(X)$ 的定义同 ${\text{FWT}}_{0/1}(X)$），对于数 $a$ 和 $b$，$\text{IFWT}(X)$ 和 $\text{FWT}(X)$ 有性质

$$\begin{array}{}\text{(16)}& \text{IFWT}(\text{FWT}(X))=\text{FWT}(\text{IFWT}(X))\end{array}$$

和

$$\begin{array}{}\text{(17)}& \text{FWT}(aX+bY)=a\cdot \text{FWT}(X)+b\cdot \text{FWT}(Y)\end{array}$$

这两个性质都可以用 $(3)$ 的定义式来证明，结合它们，有

$$\begin{array}{}\text{(18)}& \text{IFWT}(aX+bY)=a\cdot \text{IFWT}(aX)+b\cdot \text{IFWT}(bY)\end{array}$$

仔细观察 $(14)$ 和 $(15)$，你会发现这酷似一个矩阵乘法的式子，$\text{FWT}(X_0)$ 在矩阵中可以看做一个行向量，有

$$\begin{array}{}\text{(19)}& \left[\begin{array}{cc}{c}_{0,0}& c_{0,1}\\ c_{1,0}& c_{1,1}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}\text{FWT}(X_0)\\ \text{FWT}(X_1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\text{FWT}}_0(X)\\ {\text{FWT}}_1(X)\end{array}\right]\end{array}$$

我们先记录下它左边的式子，有

$$\begin{array}{}\text{(20)}& T=\left[\begin{array}{cc}{c}_{0,0}& c_{0,1}\\ c_{1,0}& c_{1,1}\end{array}\right]\end{array}$$

记 $T^{-1}$ 为 $T$ 的逆矩阵，那么，如果 $(16)$ 两边同时左乘 $T^{-1}$，有

$$\begin{array}{}\text{(21)}& \left[\begin{array}{c}\text{FWT}(X_0)\\ \text{FWT}(X_1)\end{array}\right]=T^{-1}\times \left[\begin{array}{c}{\text{FWT}}_0(X)\\ {\text{FWT}}_1(X)\end{array}\right]\end{array}$$

记

$$\begin{array}{}\text{(22)}& T^{-1}=\left[\begin{array}{c}{t}_{0,0},t_{0,1}\\ t_{1,0},t_{1,1}\end{array}\right]\end{array}$$

回到 $(21)$，令 $X=\text{IFWT}(X)$，有

$$\begin{array}{}\text{(23)}& \left[\begin{array}{c}\text{FWT}({\text{IFWT}}_0(X))\\ \text{FWT}({\text{IFWT}}_1(X))\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{t}_{0,0},t_{0,1}\\ t_{1,0},t_{1,1}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{\text{FWT}}_0(\text{IFWT}(X))\\ {\text{FWT}}_1(\text{IFWT}(X))\end{array}\right]\end{array}$$

即

$$\begin{array}{}\text{(24)}& \left[\begin{array}{c}\text{FWT}({\text{IFWT}}_0(X))\\ \text{FWT}({\text{IFWT}}_1(X))\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{t}_{0,0},t_{0,1}\\ t_{1,0},t_{1,1}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{X}_0\\ X_1\end{array}\right]\end{array}$$

那么有

$$\begin{array}{}\text{(25)}& \text{FWT}({\text{IFWT}}_0(X))=t_{0,0}{X}_0+t_{0,1}{X}_1\end{array}$$

和

$$\begin{array}{}\text{(26)}& \text{FWT}({\text{IFWT}}_1(X))=t_{1,0}{X}_0+t_{1,1}{X}_1\end{array}$$

先只考虑 $(25)$，两边同时做逆 FWT，有

$$\begin{array}{}\text{(27)}& {\text{IFWT}}_0(X)=\text{IFWT}(t_{0,0}{X}_0+t_{0,1}{X}_1)\end{array}$$

即

$$\begin{array}{}\text{(28)}& {\text{IFWT}}_0(X)=t_{0,0}\cdot \text{IFWT}(X_0)+t_{0,1}\cdot \text{IFWT}(X_1)\end{array}$$

同理，对于 $(26)$，有

$$\begin{array}{}\text{(29)}& {\text{IFWT}}_1(X)=t_{1,0}\cdot \text{IFWT}(X_0)+t_{1,1}\cdot \text{IFWT}(X_1)\end{array}$$

这样，我们只用拼接 ${\text{IFWT}}_0(X)$ 和 ${\text{IFWT}}_1(X)$ 即可。

观察 FWT 的 $(14)$ 与 $(15)$ 和逆 FWT 的 $(28)$ 与 $(29)$，你会发现它们很像，只有系数上的区别，所以我们可以将 FWT 和逆 FWT 写在一个函数内。

下面，让我们来讨论几组常见的卷积。记 $\vee$ 表示按位或运算，$\wedge$ 表示按位与运算，$\oplus$ 表示按位异或运算。

一些常见卷积

按位或

此时 $\otimes =\text{or}$，那么我们有构造

$$\begin{array}{}\text{(30)}& T=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right]\end{array}$$

显然，它满足 $(7)$，即

$$\begin{array}{}\text{(31)}& c_{i,k}{c}_{i,l}=c_{i,k\vee l}\end{array}$$

那么有

$$\begin{array}{}\text{(32)}& {\text{FWT}}_0(X)=\text{FWT}(X_0)\end{array}$$

和

$$\begin{array}{}\text{(33)}& {\text{FWT}}_1(X)=\text{FWT}(X_0)+\text{FWT}(X_1)\end{array}$$

即

$$\begin{array}{}\text{(34)}& \text{FWT}(X)=\text{merge}(\text{FWT}(X_0),\text{FWT}(X_0)+\text{FWT}(X_1))\end{array}$$

这里所有的定义和前面一样，其中 $\text{merge}(U,V)$ 表示将数组 $U,V$ 首尾拼接成一个新数组。

现在我们需要做逆 FWT 变换，有

$$\begin{array}{}\text{(35)}& T^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]\end{array}$$

那么有

$$\begin{array}{}\text{(36)}& {\text{IFWT}}_0(X)=\text{IFWT}(X_0)\end{array}$$

和

$$\begin{array}{}\text{(37)}& {\text{IFWT}}_1(X)=\text{IFWT}(X_1)-\text{IFWT}(X_0)\end{array}$$

即

$$\begin{array}{}\text{(38)}& \text{IFWT}(X)=\text{merge}(\text{IFWT}(X_0),\text{IFWT}(X_1)-\text{IFWT}(X_0))\end{array}$$

按位与

有构造

$$\begin{array}{}\text{(39)}& T=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right],T^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$

按位异或

有构造

$$\begin{array}{}\text{(40)}& T=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right],T^{-1}=\left[\begin{array}{cc}0.5& 0.5\\ 0.5& -0.5\end{array}\right]\end{array}$$

在这里，你需要使用乘法逆元来计算 $0.5$。

具体实现

参考代码：

void g_or(int *f, int tp) {
    for (int x = 2; x <= n; x <<= 1) {
        int k = x >> 1;
        for (int i = 0; i < n; i += x) {
            for (int j = 0; j < k; j++) {
                f[i + j + k] = (f[i + j + k] + f[i + j] * tp + P) % P;
            }
        }
    }
}

void g_and(int *f, int tp) {
    for (int x = 2; x <= n; x <<= 1) {
        int k = x >> 1;
        for (int i = 0; i < n; i += x) {
            for (int j = 0; j < k; j++) {
                f[i + j] = (f[i + j] + f[i + j + k] * tp + P) % P;
            }
        }
    }
}

void g_xor(int *f, int tp) {
    for (int x = 2; x <= n; x <<= 1) {
        int k = x >> 1;
        for (int i = 0; i < n; i += x) {
            for (int j = 0; j < k; j++) {
                f[i + j] = (f[i + j] + f[i + j + k]) % P;
                f[i + j + k] = (f[i + j] - (2 * f[i + j + k] % P) + P) % P;
                f[i + j] = f[i + j] * tp % P;
                f[i + j + k] = f[i + j + k] * tp % P;
            }
        }
    }
}

未完待续...