浅谈根号算法

前言

本人在 HL 集训时爱上了根号算法，遂开此坑。

所有根号算法都有一个共性：与暴力算法息息相关。但它们并不是拙劣的暴力，而是优美的暴力。所以根号算法也被称之为“暴力美学”。

根号分治就是一个典型的根号算法。当题目性质与 $x$ 和 $\frac{n}{x}$ 都有关时，我们可以找到一个分界点 $B=\sqrt{n}$ 进行分治，一部分直接暴力，另一种部分利用上述性质使用某种方式来处理，这样我们就达到了一种微妙的平衡。

通过上面的例子，我们知道了大部分根号算法的另一个特点：在两个信息之间寻找平衡。分块思想也是如此。它将区间 $[1,n]$ 分为若干个长度为 $\sqrt{n}$ 的块，每次区间操作（或询问）时，没有完全覆盖一个块的“边角料”可以暴力，而完全覆盖它的部分可以直接对整个块进行打标记等操作。前者虽然理论复杂度是 $\mathcal{O}(n)$，但是需要暴力的“边角料”只有 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$ 个点，所以它的实际复杂度是 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$。后者虽然理论复杂度较低（一般为 $\mathcal{O}(\text{ploy}\log n)$，为了方便，这里看做 $\mathcal{O}(1)$），但是它需要对 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$ 个块进行操作，所以它的实际复杂度也是 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$。可以看到，分块在块长和块的数量中找到了平衡，它也将单次操作复杂度维持在了 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$。

莫队是一种特殊的根号算法，它将操作（或询问）离线，由上次的结果进行暴力修改移动，得到了这次的结果。这种算法还将操作（或询问）按照某种方式排序，使得每次暴力修改移动的次数不超过 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$（有的是 $\mathcal{O}(n^{\frac{3}{2}})$），进而保障了复杂度。

当然，根号算法也可以和其他算法（比如二分）结合，这样会使得复杂度在根号内或外带若干支 $\log$。

总体来说，根号算法避免了使用递归数据结构，使得程序常数较小。当然，根号的复杂度不够优秀并且较难优化，这也是它最大的问题。所以，熟练掌握根号算法并不是你放弃学习其他数据结构的理由。

（其实还有整除分块，但是它属于数学内容，所以就不放在这里啦。）

1. 分块

分块并不是一种算法，而是一种思想，这里主要讲解与数据结构有关的分块算法。

分块：从入门（绿题）到黑题。目前进度：蓝题?

1.1 思想介绍

（这里先咕咕咕，因为我在这里不方便画图）

1.2 入门九题

hzwer 的分块题，是分块入门的好题。

数列分块入门 1

区间修改，单点查询。

区间修改时，边角（没有完全覆盖一个块的部分）在原数组上暴力修改，完全覆盖的在块上打标记，单点查询答案为原数组的值 + 它在所在块的标记值。

代码。

数列分块入门 2

区间修改，查询区间内排名。

其实是查询区间内小于 $x$ 的数的个数。

我们对于每个块，维护它内部元素升序，这样我们可以二分查找块内小于 $x$ 的数量。还是将区间修改分成两部分：

• 边角暴力。边角部分暴力修改元素，但需要维护块内有序，修改后还需要给块内排序。
• 块内打标记。注意到区间加不改变顺序，所以可以直接打标记。

块内二分我手写一直不对，最后还是换成 STL 的二分了，至今不知道为什么。

代码。

数列分块入门 3

区间修改，查询区间内前驱。

跟上面一样，随便做就行。

代码。

数列分块入门 4

区间修改，区间求和。

打标记 + 维护块内权值和即可。

代码。

数列分块入门 5

区间开方，区间求和。

首先，$0$ 和 $1$ 开方之后都是它本身，也就是说，如果一个块内只有 $0$ 或 $1$，那么我们就不用操作，否则就暴力遍历开方，因为开方不会有太多次，所以这样暴力复杂度是能过的。

代码。