[CodeForces] CF404 题解

注：难度评级为 D 到 A，对标 NOIP T1 到 T4。+ 表示比原本难，- 反之。例如，D+ 比 D 难。难度评级仅供参考。 如果认为难度评级与实际难度不符，可以在评论区@我进行讨论。

本篇题解无复杂的公式推导，题目较清新自然，请放心食用。

斜体字为说明提示。通常与多倍经验有关。

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A. Valera and X

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【难度分析】

思维难度：D-
实现难度：D-
总体难度：D-
评级： 普及-

【题目大意】

判断一个 $n\times n$ 的字符矩阵 $A$ 是否合法。称其合法，当且仅当：

• 矩阵两条对角线上的字符都相同。
• 除了两条对角线以外的地方，字符都相同。
• 矩阵不能只由一种字符组成。

合法输出 YES，否则输出 NO。

• $3\le n\le 300$。

【解题思路】

注意到 $3\le n\le 300$，模拟即可。

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B. Marathon

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题面看不懂，咕了

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C. Restore Graph

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【难度分析】

思维难度：C
实现难度：D
总体难度：C-
评级： 普及+/提高

【题目大意】

给定 $n$ 和 $k$，构造一个无向图，使得从某一点开始到第 $i$ 个点最短路为 $d_i$。

不存在输出 -1。

• $1\le n,k\le {10}^5$，$1\le d_i<n$，输出的总边数应该不超过 ${10}^6$ 条。

【解题思路】

考虑到构造图较难，我们可以构造树。

根节点可以选 $d_i$ 为 $0$ 的点。这样，$d_i$ 表示的就是每个点到根节点的距离，即深度。

知道深度了，我们只需要上一层的向下一层的连边即可。容易证明这样构造是对的。

不合法情况：

• 不存在 $d_i$ 为 $0$ 的点。
• $d_i=0$ 的点不止一个。
• 根节点度数 $\ge k$。
• 某个节点度数 $\ge k-1$。即设第 $i$ 层（$1\le i<\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{层}\mathrm{数}$）点数为 $a$，第 $i+1$ 层点数为 $b$，有 $a\times (k-1)<b$。

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D. Minesweeper 1D

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【难度分析】

思维难度：C
实现难度：D-
总体难度：D+
评级： 普及+/提高

【题目大意】

一维扫雷。

给定一个字符串 $s$，$s$ 仅由 0、1、2、*、? 组成，它们表示：

• 0：它的左边和右边都没有雷。
• 1：它的左边和右边有一边有雷。
• 2：它的左边和右边都有雷。
• *：它是雷。
• ?：它未知。

将 ? 替换为其他的任意一个，求总方案数，对 ${10}^9+7$ 取模。

【解题思路】

考虑 DP。

设 $f_{i,j}$，有：

• $f_{i,0}$ 表示位置 $i-1$、$i$、$i+1$ 均无雷。
• $f_{i,1}$ 表示位置 $i$ 无雷，$i-1$、$i+1$ 有雷。
• $f_{i,2}$ 表示位置 $i-1$ 有雷，$i$、$i+1$ 无雷。
• $f_{i,3}$ 表示位置 $i+1$ 有雷，$i$、$i-1$ 无雷。
• $f_{i,4}$ 表示位置 $i$ 有雷，$i-1$、$i+1$ 任意。

有状态转移方程：

若 $s_i$ 为

• 0，$f_{i,0}=f_{i-1,0}+f_{i-1,2}$。
• 1，
  • $f_{i,2}=f_{i-1,4}$。
  • $f_{i,3}=f_{i-1,2}$。
• 2，$f_{i,1}=f_{i-1,4}$。
• *，$f_{i,4}=f_{i-1,1}+f_{i-1,3}+f_{i-1,4}$。
• ?，
  • $f_{i,0}=f_{i-1,0}+f_{i-1,2}$。
  • $f_{i,1}=f_{i-1,4}$。
  • $f_{i,2}=f_{i-1,4}$。
  • $f_{i,3}=f_{i-1,0}+f_{i-1,2}$。
  • $f_{i,4}=f_{i-1,1}+f_{i-1,3}+f_{i-1,4}$。

初始值 $f_{0,0}=f_{0,3}=1$，答案为 $f_{n,0}+f_{n,2}+f_{n,4}$。

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D. Maze 1D

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【难度分析】

思维难度：B-
实现难度：D
总体难度：C+
评级： 提高+/省选-

【题目大意】

一个机器人在数轴上的 $0$ 点。给一串指令，机器人按照指令走。

为了使机器人最后一步走到一个从来没来过的位置，我们可以在数轴上放石头。每次机器人被石头卡住他就跳过当前的那个指令。

问：最少使用石头的前提下，一共有几种放石头方法。

指令只包含 L 和 R。前者表示往左走，后者表示往右走。

• $1\le \mathrm{指}\mathrm{令}\mathrm{长}\mathrm{度}\le {10}^6$。

【解题思路】

结论题。

结论一：要么不用放石头，要么只放一块石头。并且放的石头一定碰到过。

证明：

为了保证使用的石头最少，显然，如果可以不放石头，那么就一定不放。

如果必须要放石头，必须经过它们，否则可以撤去一块。

如果不是一块，考虑放两块石头的情况：

• 它们在原点同侧，那么必须经过它们之间的所有点，并且最后停留在它们之间，显然最后停留的不是一个从来没来过的位置，不成立。
• 它们在原点同侧，那么碰到一块就不会往它后面走，那么它后面的石头也就没有用了，可以撤去。

多块石头同理。

证毕。

结论二：如果最后一步向左走，石头在原点右侧；否则石头在原点左侧。

证明：

如果不然，即石头在原点左侧，且最后一步往左走。由于必须碰到石头，所以走过的区间左端点为石头，右端点为这个点，可是最后一次往左走，那么一定会走到这个区间里。反之同理。

证毕。

结论三：石头可放的区间为以原点为一个端点的连续区间。

证明：

如果可以放石头，那么一定有一个最远的可以放石头的点，记为 $x$。

考虑石头的作用：拦截操作。如果石头在右边，那么拦截的是 R 操作，否则反之。

考虑所以比 $x$ 小的点。它拦截的操作一定比 $x$ 多。也就是说，机器人往反方向走（为什么往反方向走？参见结论二）的距离比 $x$ 更多。但是 $x$ 已经合法了，所以这个点一定合法。

证毕。

这样，我们的答案具有单调性，二分最远点，check 暴力模拟即可。