[CodeForces] CF558 题解

注：难度评级为 D 到 A，对标 NOIP T1 到 T4。+ 表示比原本难，- 反之。例如，D+ 比 D 难。难度评级仅供参考。 如果认为难度评级与实际难度不符，可以在评论区@我进行讨论。

本篇题解无复杂的公式推导，题目较清新自然，请放心食用。

斜体字为说明提示。通常与多倍经验有关。

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A. Lala Land and Apple Trees

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【难度分析】

思维难度：D-
实现难度：D-
总体难度：D-
评级： 普及-

【题目大意】

一个人，最初在数轴 $0$ 点，每次可以选择一个方向走，走到苹果树的位置 $x_i$，获得 $a_i$ 价值，然后掉头。一直走，直到他走到方向没有苹果树。一共有 $n$ 颗苹果树。

• $1\le n\le 100$，$-{10}^5\le x_i\le {10}^5$，$x_i\ne 0$，$1\le a_i\le {10}^5$。

【解题思路】

考虑贪心。

显然，应该选择苹果树较多的那个方向走。最后得到的苹果总数是 $min(\mathrm{左}\mathrm{边}\mathrm{个}\mathrm{数}，\mathrm{右}\mathrm{边}\mathrm{个}\mathrm{数})+1$。使用 vector 存储信息，排序后统计即可。

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B. Amr and The Large Array

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【难度分析】

思维难度：D-
实现难度：D-
总体难度：D-
评级： 普及/提高-

难度解析：此题的难度瓶颈在于理解题意。

【题目大意】

注意：洛谷上的题目翻译不准确。

定义一个序列的美丽值 $f(A)$，为在序列 $A$ 中，出现次数最多的数的出现次数。

形式化地，有

$$f(A)=\underset{1\le i\le n}{max}(\sum _{j=1}^n[A_i=A_j])$$

其中，$n$ 是序列 $A$ 的长度。$[]$（方括号）表示，如果它内部的表达式为真，那么值为 $1$，否则为 $0$。

现在，给定你序列 $A$，你需要求出 $A$ 的一个连续的子段 $B$，使得 $f(A)=f(B)$。如果 $B$ 在 $A$ 中的位置为 $[l,r]$，你只需要输出 $l$ 和 $r$。

• $1\le n\le {10}^5$，$1\le a_i\le {10}^6$。

【解题思路】

容易知道，我们需要选取出现次数最多的数，所以只需要枚举出现次数最多的数。由于我们要使答案最小，我们可以取 $l$ 为这个数最左端的位置，$r$ 为这个数最右端的位置，这样一定是长度最小的。

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C. Amr and Chemistry

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【难度分析】

思维难度：C+
实现难度：C-
总体难度：C
评级： 普及+/提高

难度解析：此题对标三值逻辑。

【题目大意】

有 $n$ 个数，第 $i$ 个数为 $a_i$，你可以对每个数进行一下操作：

• 将一个数乘二。
• 将一个数除以二并向下取整。

问最少通过多少次操作可以将这些数变得相同。

• $1\le n\le {10}^5$，$1\le a_i\le {10}^5$。

【解题思路】

第一个操作相当于在数的二进制的末尾补 $0$，第二个数相当于去掉末尾的数。

这样，我们可以直接使用 01-Trie。末尾补 $0$ 相当于向 $0$ 儿子走，去掉末尾相当于走到父亲节点。

于是问题变成：一棵树上，每次可以走向 $0$ 儿子或者父亲，你需要确定一个点，使得所有有标记的点到这个点走的步数和最小。这里的有标记的点是指 $a_i$ 的末尾在 01-Trie 上的编号。

那这就是一个经典换根 DP 了。设 $f_i$ 为所以有标记的点走到 $i$ 的最小步数，$g_i$ 为 $i$ 子树内有标记的点的个数，那么有

$$f_v=f_u+n-2\ast g_v$$

解释：其中，$v$ 为 $u$ 的子节点。我们 $v$ 的子树内所有节点，共 $g_v$ 个，从走到 $u$ 变成了走到 $v$，那么显然少走了一步，要减去 $g_v$。但其他节点都多走了一步，所以要加上 $n-g_v$。

其实这种换根 DP 技巧与这道题完全一样。

实现方法：第一次 DFS 求出 $g$，第二次 DFS 求出 $f$。第二次 DFS 只能向 $0$ 儿子递归，因为只能末尾补 $0$ 不能末尾补 $1$。且第二次 DFS 时，根节点不是原来字典树的根节点。这个根节点是所有节点的 LCA。为什么？因为变到 LCA 就不用变了。

注意 $a_i$ 可重复。注意根节点的 $f$ 的初始值。

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D. Guess Your Way Out! II

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【难度分析】

思维难度：B
实现难度：C+
总体难度：B-
评级： 省选/NOI-

【题目大意】

一颗完美二叉树，根节点编号为 $1$。第 $i$ 个点左儿子编号为 $2\times i$，右儿子编号为 $2\times i+1$。根节点为第一层，儿子节点的层数在它的父亲节点的基础上增加 $1$。

你需要求出一个叶子节点（叶子节点层数为 $h$），给你 $q$ 个信息：

每次信息形如 $i,L,R,o$，表示该节点的层数为 $i$ 的祖先的编号是否在区间 $[L,R]$ 内，是则 $o=1$，否则 $o=0$。

如果无法找到一个这样的节点，输出 Game cheated!；如果有多个这样的节点，输出 Data not sufficient!；如果有且仅有一个这样的节点，输出节点编号。

• $1\le h\le 50$，$1\le q\le {10}^5$，保证信息合法。

【解题思路】

考虑到在树上进行区间操作是一件很困难的事，所以应该把它转化到序列上。

具体来说，给定深度为 $i$ 的区间 $[L,R]$，容易求出它在叶子节点那一层对应的区间。现在问题变成了：给定若干个区间，告诉 $x$ 在不在区间内，让你求 $x$。

对于“在”区间内的情况，直接全部取交集即可。对于“不在”的情况，先按左端点排序，这样会方便考虑，然后逐一合并相交的区间，再取补集，最后与“在”的区间合并即可。

注意判断无法找到的情况、有多个的情况还有没有“不在”区间的情况。

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E. A Simple Task

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【难度分析】

思维难度：D+
实现难度：B
总体难度：C+
评级： 提高+/省选-

【题目大意】

给定一个长度为 $n$ 的，仅由小写字母组成的字符串 $S$，有 $m$ 次操作，对于每次操作：

• 将 $S_l\sim S_r$ 升序排序。
• 将 $S_l\sim S_r$ 降序排序。

求最终的字符串。

• $1\le n\le {10}^5$，$1\le m\le 5\times {10}^4$。

【解题思路】

定义函数 $f(x)$，表示在字母表中排名为 $x$ 的字母；$g(c)$ 表示字母 $c$ 在字母表中的排名。

由于只有 $26$ 种字符，考虑对每种字符都建立一颗线段树，这样我们需要 $26$ 颗线段树。

具体的，第 $i$ 颗线段树维护字母 $f(i)$ 的位置（和区间内的出现次数）。这样，根据线段树的叶子节点存储的信息可以计算每个位置的字符。

考虑排序操作，这里只讨论升序排序，因为降序排序同理即可。

我们观察一个例子：对于 acababc 进行排序，结果是 aaabbcc。这里，第 $1$ 到 $1+3-1$ 位置是 a，第 $4$ 到 $4+2-1$ 位置是 b，第 $6$ 到第 $6+2-1$ 位置是 c。注意到这里的 $4$、$2$、$2$ 是这些字符在区间内的个数。于是我们就有了一种方案：

每次修改时，从小往大枚举字符，这样就可以保证升序。对于字符 $i$，我们将第 $g(i)$ 颗线段树 $p+1$ 到 $p+cnt+1$ 修改为 $1$，其他修改为 $0$。其中，$p$ 为上一个字符的末尾，$cnt$ 为这个字符在修改的区间内的出个数。这样就可以完成的排序的操作了。

这里，我们利用了两个性质：排序后相同的字符是连续的；排序操作不影响区间内字符的个数。

输出的时候，我们遍历时遍历到叶子节点输出即可。

时间复杂度 $O(26$ $m\log (n))$。

其实此题与这个题有着较为相似的思路，只不过后者将值域从 $26$ 扩大为正整数，需要二分答案，略难一些，有余力的读者可以尝试一下。