[CodeForces] CF998 题解

注：难度评级为 D 到 A，对标 NOIP T1 到 T4。+ 表示比原本难，- 反之。例如，D+ 比 D 难。难度评级仅供参考。 如果认为难度评级与实际难度不符，可以在评论区@我进行讨论。

Upd 2024/11/18 10:01：将 E 题的实现难度 D+ 改为了 C。增加了一些说明。

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A. Ballon

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【难度分析】

思维难度：D-
实现难度：D-
总体难度：D-
评级： 普及-

【题目大意】

$n$ 个物品，第 $i$ 个物品权值为 $a_i$，分成 $2$ 堆，每堆至少有 $1$ 个物品，并且两堆的权值和不相等。如果存在一种分法，输出任意一种分法中，任意一堆的物品数量与物品编号。否则输出 $-1$。

• $1\le n\le 10,1\le a_i\le {10}^3$

【解题思路】

考虑这样一种构造：权值最小的物品一堆，其他的一堆。

• 在 $n=1$ 或 $n=2$ 且 $a_1=a_2$ 时。显然，无论如何分都不能使两堆权值和不相等。
• 其他情况，容易证明它是成立的。

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B. Cutting

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【难度分析】

思维难度：D
实现难度：D-
总体难度：D-
评级： 普及/提高-

【题目大意】

给定一个序列 $a$，奇数个数和偶数个数相同。你可以进行若干次切割操作。如果你在 $i$ 位置后面切割，序列会被分为两段，这次切割的花费为 $|a_{i+1}-a_i|$。你需要保证，在所有的切割之后，每段序列的奇数个数和偶数个数相同，我们称这样的切割是合法的。你需要在总花费不超过 $B$ 的情况下，最大化切割的次数。

例：对序列 $[4,1,2,3,4,5,4,4,5,5]$ 进行两次切割操作后，变为 $[4,1],[2,3,4,5],[4,4,5,5]$，它是一个合法的切割。

• $1\le n\le 100,1\le B\le 100,1\le a_i\le 100$

【解题思路】

令 $f_i$ 表示 $a_1$ 到 $a_i$ 中，奇数个数与偶数个数的差。$f_i$ 容易通过预处理出。这样，区间 $[l,r]$ 中，奇数个数与偶数个数的差就是 $f_r-f_{l-1}$。

对于区间 $[l,r]$ 来说，如果需要操作合法，那么就要使这个区间内奇数个数与偶数个数的差为 $0$。因为如果这个值不为 $0$，那么无论经过多少次切割之后，必会留下一个区间，它的奇数个数不等于偶数个数。这是显然的。

由于 $f_0=0,f_n=0$，所以我们每次切割时，必须选择 $f_i=0$ 的位置 $i$ 切割。否则必定有一个区间的 $f_r-f_{l-1}$ 不为 $0$。

这样，我们就知道了合法的切割位置，每次我们可以贪心地选取花费少的区间进行切割，这样可以最大化我们的切割次数。用堆维护就可以。

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C. Convert to Ones

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【难度分析】

思维难度：D
实现难度：D-
总体难度：D
评级： 普及/提高-

【题目大意】

给你一个长度为 $n$ 的 $01$ 串，你可以进行以下操作：

• 翻转一个字串，花费为 $x$
• 反转（将 $0$ 变成 $1$，$1$ 变成 $0$）一个字串，花费为 $y$

求你将这个 $01$ 串变成全是 $1$ 的串的最少花费。

【解题思路】

我们注意到一个性质：操作的代价与子串长度无关。

这就意味着，连续的 $0$ 与单个的 $0$ 没有区别。接下来的讨论将这些连续段每个缩为一个 $0$，同时令 $k$ 为连续段的数量。

那么，我们的目标是将 $0$ 删除。对于两个最近的 $0$，我们可以进行一次字串翻转，使他们变成相邻的 $0$，最后可以一并反转删除。当然我们也可以直接反转一段，减少一个 $0$ 的数量。

如果 $x<y$，那么翻转操作更优，我们需要翻转 $k-1$ 次，把它变成一个连续段，然后一并反转删除，代价为 $x\times (k-1)+y$。否则，一个个反转删除，代价为 $y\ast k$。

所以总代价为 $min(x,y)\times (k-1)+y$。需要特判 $k=0$ 的情况，此时总代价为 $0$。

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D. Roman Digits

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【难度分析】

思维难度：B
实现难度：D-
总体难度：C+
评级： 提高+/省选-

【题目大意】

罗马数字只有 $4$ 个字符，$\mathtt{I}\mathtt{,}\mathtt{V}\mathtt{,}\mathtt{X}\mathtt{,}\mathtt{L}$ 分别代表 $1,5,10,50$。一个罗马数字的值为该数字包含的字符代表数字的和，而与字符的顺序无关。例如 $\mathtt{X}\mathtt{X}\mathtt{X}\mathtt{V}\mathtt{=}\mathtt{35}$，$\mathtt{I}\mathtt{X}\mathtt{I}\mathtt{=}\mathtt{12}$。

现在求一个长度为 $n$ 的罗马数字可以有多少种不同的值。

• $1\le n\le {10}^9$

【解题思路】

打表找规律题。

通过打表可以发现，前面 $11$ 项是定值，后面是公差为 $49$ 的等差数列。证明有待完善。

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E. Sky Full of Stars

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【难度分析】

思维难度：B+
实现难度：C
总体难度：B
评级： 省选/NOI-

【题目大意】

有一个 $n\times n$ 的正方形网格。用红色，绿色，蓝色三种颜色染色，求有多少种染色方案使得至少一行或一列是同一种颜色。结果对 $998244353$ 取模。

• $1\le n\le {10}^6$

【解题思路】

本题公式较多，请仔细阅读。

令 $f(i,j)$ 表示有 $i$ 行和 $j$ 列被染成相同颜色的方案数（$i\times j>0$）。则有

$$f(i,j)=3\times 3^{(n-i)\times (n-j)}$$

将 $i\times j=0$ 的答案 $A1$ 单独考虑，则有

$$A1=2\times \sum _{i=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\times (-1{)}^{i+1}\times 3^{n\times (n-i)+i}$$

其余的答案记为 $A2$，则有

$$\begin{array}{rl}A2& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})\times (-1{)}^{i+j+1}\times f(i,j)\\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})\times (-1{)}^{i+j+1}\times 3\times 3^{(n-i)\times (n-j)}\\ & =3\times \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})\times (-1{)}^{i+j+1}\times 3^{(n-i)\times (n-j)}\end{array}$$

记总答案为 $Ans$，则有

$$Ans=A1+A2$$

由于计算 $A2$ 的复杂度是 $O(n^2)$ 的，所以考虑化简 $A2$。

考虑换元，$i\leftarrow n-i$，$j\leftarrow n-j$，则有

$$\begin{array}{rl}A2& =3\times \sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-j})\times (-1{)}^{n-i+n-j+1}\times 3^{i\times j}\\ & =3\times \sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})\times (-1{)}^{i+j+1}\times 3^{i\times j}\end{array}$$

继续化简，有

$$\begin{array}{rl}A2& =3\times \sum _{i=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\times (-1{)}^{i+1}\sum _{j=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})\times (-1{)}^j\times 3^{i\times j}\\ & =3\times \sum _{i=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\times (-1{)}^{i+1}\sum _{j=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})\times (-3^i{)}^j\end{array}$$

注意到有

$$\sum _{j=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})\times (-3^i{)}^j=(1+(-3^i){)}^n-(-3^i{)}^n$$

那么有

$$A2=3\times \sum _{i=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\times (-1{)}^{i+1}\times ((1+(-3^i){)}^n-(-3^i{)}^n)$$

这样，我们就可以通过通过 $O(n\log n)$ 的复杂度计算 $A2$ 了（那个 $\log$ 是快速幂的复杂度）。

最后，有总答案

$$Ans=2\times \sum _{i=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\times (-1{)}^{i+1}\times 3^{n\times (n-i)+i}+3\times \sum _{i=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\times (-1{)}^{i+1}\times ((1+(-3^i){)}^n-(-3^i{)}^n)$$

实现较为简单。