[CodeForces] CF998 题解

注：难度评级为 D 到 A，对标 NOIP T1 到 T4。+ 表示比原本难，- 反之。例如，D+ 比 D 难。难度评级仅供参考。 如果认为难度评级与实际难度不符，可以在评论区@我进行讨论。

Upd 2024/11/18 10:01：将 E 题的实现难度 D+ 改为了 C。增加了一些说明。

---

A. Ballon

Link-CF
Link-Luogu

【难度分析】

思维难度：D-
实现难度：D-
总体难度：D-
评级： 普及-

【题目大意】

\(n\) 个物品，第 \(i\) 个物品权值为 \(a_i\)，分成 \(2\) 堆，每堆至少有 \(1\) 个物品，并且两堆的权值和不相等。如果存在一种分法，输出任意一种分法中，任意一堆的物品数量与物品编号。否则输出 \(-1\)。

• \(1 \leq n \leq 10, 1 \leq a_i \leq 10^3\)

【解题思路】

考虑这样一种构造：权值最小的物品一堆，其他的一堆。

• 在 \(n = 1\) 或 \(n = 2\) 且 \(a_1 = a_2\) 时。显然，无论如何分都不能使两堆权值和不相等。
• 其他情况，容易证明它是成立的。

---

B. Cutting

Link-CF
Link-Luogu

【难度分析】

思维难度：D
实现难度：D-
总体难度：D-
评级： 普及/提高-

【题目大意】

给定一个序列 \(a\)，奇数个数和偶数个数相同。你可以进行若干次切割操作。如果你在 \(i\) 位置后面切割，序列会被分为两段，这次切割的花费为 \(\lvert a_{i + 1} - a_i \rvert\)。你需要保证，在所有的切割之后，每段序列的奇数个数和偶数个数相同，我们称这样的切割是合法的。你需要在总花费不超过 \(B\) 的情况下，最大化切割的次数。

例：对序列 \([4, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 4, 5, 5]\) 进行两次切割操作后，变为 \([4, 1], [2, 3, 4, 5], [4, 4, 5, 5]\)，它是一个合法的切割。

• \(1 \leq n \leq 100, 1 \leq B \leq 100, 1 \leq a_i \leq 100\)

【解题思路】

令 \(f_i\) 表示 \(a_1\) 到 \(a_i\) 中，奇数个数与偶数个数的差。\(f_i\) 容易通过预处理出。这样，区间 \([l, r]\) 中，奇数个数与偶数个数的差就是 \(f_r - f_{l - 1}\)。

对于区间 \([l, r]\) 来说，如果需要操作合法，那么就要使这个区间内奇数个数与偶数个数的差为 \(0\)。因为如果这个值不为 \(0\)，那么无论经过多少次切割之后，必会留下一个区间，它的奇数个数不等于偶数个数。这是显然的。

由于 \(f_0 = 0, f_n = 0\)，所以我们每次切割时，必须选择 \(f_i = 0\) 的位置 \(i\) 切割。否则必定有一个区间的 \(f_r - f_{l - 1}\) 不为 \(0\)。

这样，我们就知道了合法的切割位置，每次我们可以贪心地选取花费少的区间进行切割，这样可以最大化我们的切割次数。用堆维护就可以。

---

C. Convert to Ones

Link-CF
Link-Luogu

【难度分析】

思维难度：D
实现难度：D-
总体难度：D
评级： 普及/提高-

【题目大意】

给你一个长度为 \(n\) 的 \(01\) 串，你可以进行以下操作：

• 翻转一个字串，花费为 \(x\)
• 反转（将 \(0\) 变成 \(1\)，\(1\) 变成 \(0\)）一个字串，花费为 \(y\)

求你将这个 \(01\) 串变成全是 \(1\) 的串的最少花费。

【解题思路】

我们注意到一个性质：操作的代价与子串长度无关。

这就意味着，连续的 \(0\) 与单个的 \(0\) 没有区别。接下来的讨论将这些连续段每个缩为一个 \(0\)，同时令 \(k\) 为连续段的数量。

那么，我们的目标是将 \(0\) 删除。对于两个最近的 \(0\)，我们可以进行一次字串翻转，使他们变成相邻的 \(0\)，最后可以一并反转删除。当然我们也可以直接反转一段，减少一个 \(0\) 的数量。

如果 \(x < y\)，那么翻转操作更优，我们需要翻转 \(k - 1\) 次，把它变成一个连续段，然后一并反转删除，代价为 \(x \times (k - 1) + y\)。否则，一个个反转删除，代价为 \(y * k\)。

所以总代价为 \(\min(x, y) \times (k - 1) + y\)。需要特判 \(k = 0\) 的情况，此时总代价为 \(0\)。

---

D. Roman Digits

Link-CF
Link-Luogu

【难度分析】

思维难度：B
实现难度：D-
总体难度：C+
评级： 提高+/省选-

【题目大意】

罗马数字只有 \(4\) 个字符，\(\tt{I, V, X, L}\) 分别代表 \(1, 5, 10, 50\)。一个罗马数字的值为该数字包含的字符代表数字的和，而与字符的顺序无关。例如 \(\tt{XXXV} = 35\)，\(\tt{IXI} = 12\)。

现在求一个长度为 \(n\) 的罗马数字可以有多少种不同的值。

• \(1 \leq n \leq 10^9\)

【解题思路】

打表找规律题。

通过打表可以发现，前面 \(11\) 项是定值，后面是公差为 \(49\) 的等差数列。证明有待完善。

---

E. Sky Full of Stars

Link-CF
Link-Luogu

【难度分析】

思维难度：B+
实现难度：C
总体难度：B
评级： 省选/NOI-

【题目大意】

有一个 \(n \times n\) 的正方形网格。用红色，绿色，蓝色三种颜色染色，求有多少种染色方案使得至少一行或一列是同一种颜色。结果对 \(998244353\) 取模。

• \(1 \leq n \leq 10 ^ 6\)

【解题思路】

本题公式较多，请仔细阅读。

令 \(f(i, j)\) 表示有 \(i\) 行和 \(j\) 列被染成相同颜色的方案数（\(i \times j > 0\)）。则有

\[f(i, j) = 3 \times 3^{(n - i) \times (n - j)} \]

将 \(i \times j = 0\) 的答案 \(A1\) 单独考虑，则有

\[A1 = 2\times \sum_{i = 1}^{n} {n \choose i} \times (-1)^{i + 1}\times3^{n \times (n - i) + i} \]

其余的答案记为 \(A2\)，则有

\[\begin{aligned} A2 &= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{n\choose i}{n\choose j}\times (-1)^{i+j+1}\times f(i, j) \\ &= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{n\choose i}{n\choose j}\times (-1)^{i+j+1}\times 3 \times 3^{(n - i) \times (n - j)} \\ &= 3 \times \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{n\choose i}{n\choose j}\times (-1)^{i+j+1}\times 3^{(n - i) \times (n - j)} \end{aligned} \]

记总答案为 \(Ans\)，则有

\[Ans = A1 + A2 \]

由于计算 \(A2\) 的复杂度是 \(O(n ^ 2)\) 的，所以考虑化简 \(A2\)。

考虑换元，\(i\gets n - i\)，\(j \gets n - j\)，则有

\[\begin{aligned} A2 &= 3 \times \sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}{n\choose n-i}{n\choose n-j}\times (-1)^{n-i+n-j+1}\times 3^{i \times j} \\ &= 3 \times \sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}{n\choose i}{n\choose j}\times (-1)^{i+j+1}\times 3^{i \times j} \\ \end{aligned} \]

继续化简，有

\[\begin{aligned} A2 &= 3 \times \sum_{i=0}^{n-1}{n\choose i}\times(-1)^{i+1} \sum_{j=0}^{n-1} {n\choose j}\times (-1)^{j}\times 3^{i \times j} \\ &= 3 \times \sum_{i=0}^{n-1}{n\choose i}\times(-1)^{i+1} \sum_{j=0}^{n-1} {n\choose j}\times ({-3^i})^j \\ \end{aligned} \]

注意到有

\[\sum_{j=0}^{n-1} {n\choose j}\times ({-3^i})^j = (1+(-3^i)) ^n-(-3^i)^n \]

那么有

\[A2 = 3 \times \sum_{i=0}^{n-1}{n\choose i}\times(-1)^{i+1} \times ((1+(-3^i)) ^n-(-3^i)^n) \]

这样，我们就可以通过通过 \(O(n\log n)\) 的复杂度计算 \(A2\) 了（那个 \(\log\) 是快速幂的复杂度）。

最后，有总答案

\[Ans = 2\times \sum_{i = 1}^{n} {n \choose i} \times (-1)^{i + 1}\times3^{n \times (n - i) + i} + 3 \times \sum_{i=0}^{n-1}{n\choose i}\times(-1)^{i+1} \times ((1+(-3^i)) ^n-(-3^i)^n) \]

实现较为简单。