[CodeForces] CF847 题解
A. Union of Doubly Linked Lists
【题目大意】
给你若干个双向链表，让你把它们连成一条。
【解题思路】
每次把一条链表的头连向另一条的尾，用一个变量维护一下链表的尾，直接做就做完了。
B. Preparing for Merge Sort
【题目大意】
给定一个元素互不相同序列 \(a\)，每次可以取出 \(a\) 中最长的一个上升子序列，但要求包含 \(a\) 的第一个数，然后将这个子序列删掉。求每次取出来的数。
【解题思路】
我们维护每次取出来的子序列的末尾值 \(f\)。
显然，这个值是单调递减的。因为如果有 \(f_i < f_j, i < j\)，那么取第 \(i\) 条子序列时可以将 \(f_j\) 取走。
所以，对于数 \(a_i\)，如果当前子序列一共有 \(l\) 条，分两种情况考虑：
-
若 \(a_i \leq f_l\)，如果 \(a_i\) 比最小的末尾值还小了，这意味着，没有子序列可以在 \(a_i\) 加入后保持单调递增。这时，我们给 \(a_i\) 新开一个子序列。
-
否则，\(a_i\) 可以加到子序列里。为了维护单调性，我们需要找到一个位置，使得 \(a_i\) 加入后，\(f\) 依然单调递减。形式化地，我们需要找到一个位置 \(j\)，使得 \(f_{j - 1} > a_i\) 且 \(a_i > a_j\)，然后将 \(a_i\) 插入到第 \(j\) 条子序列的后面，并更新 \(f\) 数组。注意到 \(f\) 具有单调性，二分查找即可。
统计答案使用一个 vector。直接做就做完了。
C. Sum of Nestings
【题目大意】
称一个字符串为括号序列，当且仅当它仅由 ( 或 ) 构成。
称一个括号序列是合法的，有
- 空串是一个合法括号序列
- 如果 \(s\) 是合法括号序列，那么 \((s)\) 也是。
- 如果 \(p\) 和 \(q\) 都是合法括号序列，那么 \(pq\) 也是。
以上定义与你熟知的定义相同。
在一个合法的括号序列中，称一对括号有 \(t\) 对嵌套，当且仅当在这对括号之间有 \(t\) 对括号。
称一个合法的括号序列 有 \(t\) 对嵌套，当且仅当对于这个序列的每一对相互匹配的括号，它们的嵌套对数之和为 \(t\)。
例如，合法的括号序列 ()(()) 有 \(1\) 对嵌套，而 (((()))) 有 \(6\) 对嵌套。
现在，你需要构造一个合法的括号序列，使得它一共有 \(n\) 对括号，\(k\) 对嵌套。
【解题思路】
注意到每次对于一个有 \(t\) 对括号的合法括号序列 \(s\) 中，括号序列 \((s)\) （即在 \(s\) 外面加一对括号）会比原序列 \(s\) 多 \(t\) 对嵌套，多 \(1\) 对括号。而括号序列 \(s()\)（即在 \(s\) 后面加一对括号）会比 \(s\) 多 \(1\) 对括号，但嵌套对数不变。
这样我们就有一种构造方案：
欲构造有 \(n\) 对括号，\(k\) 对括号嵌套的合法括号序列 \(s\)：
- 若 \(n - 1 \leq k\)。记有 \(n - 1\) 对括号，\(k - n + 1\) 对括号嵌套的合法括号序列为 \(s^{\prime}\)。则有 \(s=(s^{\prime})\)。
- 否则，记有 \(n - 1\) 对括号，\(k\) 对括号嵌套的合法括号序列为 \(s^{\prime}\)。则 \(s=s^{\prime}()\)。
构造的可行性显然。
这样，我们成功地将构造 \(s\) 的问题转化为构造 \(s^{\prime}\) 的问题，通过递归不难实现，直接做就做完了。
D. Dog Show
【题目大意】
\(n\) 盆狗粮编号为 \(1\) 到 \(n\)，它们从左到右排成一排，数轴上位置为 \(1\) 到 \(n\)。第 \(i\) 盆狗粮，只有在 \(t_i\) 秒以后才能吃，吃了它获得的价值为 \(1\)。狗从数轴原点开始，每次移动 \(1\) 单位长度需要 \(1\) 秒，狗可以选择不吃，可以在原地停留或者往右走，求在 \(T\) 秒内能获得的最大价值（第 \(T\) 秒不能吃）。
【解题思路】
神仙贪心。
注意到这题有一个很好的性质：所有狗粮的价值都一样。
首先，对于第 \(i\) 盆狗粮，吃掉它需要在它这里停留 \(\max{(t_i - i, 0)}\) 秒，因为移动到它需要 \(i\) 秒，这样剩下的时间就是停留的时间。
但是，我们最多有 \(T\) 秒，所以狗最多在那里停留 \(T - i - 1\) 秒。为什么减 \(i\)？因为需要花费 \(i\) 秒移动到那里；为什么减一？因为第 \(T\) 秒不能吃。
那么为什么要计算停留时间呢？对于一个狗粮，如果要停留，显然不管在哪里停留都一样（当然不能是在该狗粮后面），于是我们只在意停留时间。
好，我们这里先说做法，等会再解释。
具体地，我们对于第 \(i\) 个狗粮，显然对于第 \(1\) 到 \(i - 1\) 个狗粮，如果停留时间超过了 \(T - i - 1\) 那么就不能吃，否则就能吃。
注意到我们在枚举 \(i\) 时，\(T - i - 1\) 是递减的。于是，我们可以用大根堆来维护停留时间。如果堆顶大于 \(T - i - 1\) 那么就弹掉，直到堆顶小于这个值，然后再把在第 \(i\) 个狗粮停留的时间扔堆里。这时候，堆的大小就是现在的答案。总答案是所有这些答案的最大值。
好，那么现在有人会问：我现在把所有大于 \(T - i - 1\) 的停留时间都弹掉了，但是剩下的停留时间的和可能大于 \(T - i - 1\)，怎么办？
这个事情是这样的。我们总共的停留时间不是求和，而是求最大值。因为我们在前面的狗粮停留时，间接地，我们也等待了后面的狗粮。因为对于每个狗粮，时间流逝是一样的。其实这就是一个木桶原理（仔细读读题目，如果想看详细的去看 luogu 的）。
好了，这样真的直接做就做完了。这道题是道蓝题，代码只有 19 行。
E. Packmen
咕
F. Berland Elections
咕
G. University Classes
【题目大意】
给定 \(n\) 个长度为 \(7\) 的字符串，统计每一列 \(1\) 的个数。
【解题思路】
暴力统计即可，直接做就做完了。
H. Load Testing
【题目大意】
给一个数组 \(a\)，问多少次对单个位置 \(+1\) 操作后，能将序列变成前一段严格递增，后一段严格递减（即单峰序列）。
【解题思路】
考虑维护两个数组 \(p_i\) 与 \(q_i\)，分别表示前 \(i\) 个数为严格递增或第 \(i\) 个数到第 \(n\) 个数为严格递减时位置 \(i\) 的最小值。
考虑计算这两个数组。对于前 \(i\) 个数，考虑正序递推。由于它们是严格递增，所以 \(p_i\) 最小为 \(p_{i - 1} + 1\)。但是只有 \(+1\) 操作，所以如果 \(p_{i - 1} + 1 < a_i\)，那么就有 \(p_i = a_i\)。所以有递推式
同理，\(q\) 倒序递推即可。有递推式
考虑枚举最高点 \(i\)（即山峰），对于 \(i\) 前面的数可以前缀和计算需要几次 \(+1\)，对于 \(i\) 后面的数后缀和计算，对于 \(i\) 这个数，取到的值为 \(\max{(p_i, q_i)}\)，因为 \(i\) 既属于前面的严格递增序列，也属于后面的严格递减序列。这样直接做就做完了。
形式化的：
记 \(sa\)、\(sb\) 分别为 \(a\) 的前缀和和后缀和数组，则有
记 \(sp\)、\(sq\) 分别为 \(p\) 的前缀和数组和 \(q\) 的后缀和数组，则有
对于最高点 \(i\)，有答案为
注意需要特判整个序列严格单增或者严格单减的情况，有答案为
即
这样就做完了。
I. Noise Level
咕
J. Students Initiation
咕
K. Travel Cards
咕
L. Berland SU Computer Network
咕
M. Weather Tomorrow
【题目大意】
给定一个 \(n\) 个数的数列，如果它为等差数列输出第 \(n + 1\) 项，否则输出第 \(n\) 项。
【解题思路】
注意到对于等差数列 \(a\) 有 \(2 \times a_i = a_{i - 1} + a_{i + 1} (2 \leq i < n)\)，直接做就做完了。
