[CodeForces] CF847 题解

A. Union of Doubly Linked Lists

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【题目大意】

给你若干个双向链表，让你把它们连成一条。

【解题思路】

每次把一条链表的头连向另一条的尾，用一个变量维护一下链表的尾，直接做就做完了。

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B. Preparing for Merge Sort

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【题目大意】

给定一个元素互不相同序列 $a$，每次可以取出 $a$ 中最长的一个上升子序列，但要求包含 $a$ 的第一个数，然后将这个子序列删掉。求每次取出来的数。

【解题思路】

我们维护每次取出来的子序列的末尾值 $f$。

显然，这个值是单调递减的。因为如果有 $f_i<f_j,i<j$，那么取第 $i$ 条子序列时可以将 $f_j$ 取走。

所以，对于数 $a_i$，如果当前子序列一共有 $l$ 条，分两种情况考虑：

• 若 $a_i\le f_l$，如果 $a_i$ 比最小的末尾值还小了，这意味着，没有子序列可以在 $a_i$ 加入后保持单调递增。这时，我们给 $a_i$ 新开一个子序列。

• 否则，$a_i$ 可以加到子序列里。为了维护单调性，我们需要找到一个位置，使得 $a_i$ 加入后，$f$ 依然单调递减。形式化地，我们需要找到一个位置 $j$，使得 $f_{j-1}>a_i$ 且 $a_i>a_j$，然后将 $a_i$ 插入到第 $j$ 条子序列的后面，并更新 $f$ 数组。注意到 $f$ 具有单调性，二分查找即可。

统计答案使用一个 vector。直接做就做完了。

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C. Sum of Nestings

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【题目大意】

称一个字符串为括号序列，当且仅当它仅由 ( 或 ) 构成。

称一个括号序列是合法的，有

• 空串是一个合法括号序列
• 如果 $s$ 是合法括号序列，那么 $(s)$ 也是。
• 如果 $p$ 和 $q$ 都是合法括号序列，那么 $pq$ 也是。

以上定义与你熟知的定义相同。

在一个合法的括号序列中，称一对括号有 $t$ 对嵌套，当且仅当在这对括号之间有 $t$ 对括号。

称一个合法的括号序列 有 $t$ 对嵌套，当且仅当对于这个序列的每一对相互匹配的括号，它们的嵌套对数之和为 $t$。

例如，合法的括号序列 ()(()) 有 $1$ 对嵌套，而 (((()))) 有 $6$ 对嵌套。

现在，你需要构造一个合法的括号序列，使得它一共有 $n$ 对括号，$k$ 对嵌套。

【解题思路】

注意到每次对于一个有 $t$ 对括号的合法括号序列 $s$ 中，括号序列 $(s)$ （即在 $s$ 外面加一对括号）会比原序列 $s$ 多 $t$ 对嵌套，多 $1$ 对括号。而括号序列 $s()$（即在 $s$ 后面加一对括号）会比 $s$ 多 $1$ 对括号，但嵌套对数不变。

这样我们就有一种构造方案：

欲构造有 $n$ 对括号，$k$ 对括号嵌套的合法括号序列 $s$：

• 若 $n-1\le k$。记有 $n-1$ 对括号，$k-n+1$ 对括号嵌套的合法括号序列为 $s^{\prime }$。则有 $s=(s^{\prime })$。
• 否则，记有 $n-1$ 对括号，$k$ 对括号嵌套的合法括号序列为 $s^{\prime }$。则 $s=s^{\prime }()$。

构造的可行性显然。

这样，我们成功地将构造 $s$ 的问题转化为构造 $s^{\prime }$ 的问题，通过递归不难实现，直接做就做完了。

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D. Dog Show

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【题目大意】

$n$ 盆狗粮编号为 $1$ 到 $n$，它们从左到右排成一排，数轴上位置为 $1$ 到 $n$。第 $i$ 盆狗粮，只有在 $t_i$ 秒以后才能吃，吃了它获得的价值为 $1$。狗从数轴原点开始，每次移动 $1$ 单位长度需要 $1$ 秒，狗可以选择不吃，可以在原地停留或者往右走，求在 $T$ 秒内能获得的最大价值（第 $T$ 秒不能吃）。

【解题思路】

神仙贪心。

注意到这题有一个很好的性质：所有狗粮的价值都一样。

首先，对于第 $i$ 盆狗粮，吃掉它需要在它这里停留 $max(t_i-i,0)$ 秒，因为移动到它需要 $i$ 秒，这样剩下的时间就是停留的时间。

但是，我们最多有 $T$ 秒，所以狗最多在那里停留 $T-i-1$ 秒。为什么减 $i$？因为需要花费 $i$ 秒移动到那里；为什么减一？因为第 $T$ 秒不能吃。

那么为什么要计算停留时间呢？对于一个狗粮，如果要停留，显然不管在哪里停留都一样（当然不能是在该狗粮后面），于是我们只在意停留时间。

好，我们这里先说做法，等会再解释。

具体地，我们对于第 $i$ 个狗粮，显然对于第 $1$ 到 $i-1$ 个狗粮，如果停留时间超过了 $T-i-1$ 那么就不能吃，否则就能吃。

注意到我们在枚举 $i$ 时，$T-i-1$ 是递减的。于是，我们可以用大根堆来维护停留时间。如果堆顶大于 $T-i-1$ 那么就弹掉，直到堆顶小于这个值，然后再把在第 $i$ 个狗粮停留的时间扔堆里。这时候，堆的大小就是现在的答案。总答案是所有这些答案的最大值。

好，那么现在有人会问：我现在把所有大于 $T-i-1$ 的停留时间都弹掉了，但是剩下的停留时间的和可能大于 $T-i-1$，怎么办？

这个事情是这样的。我们总共的停留时间不是求和，而是求最大值。因为我们在前面的狗粮停留时，间接地，我们也等待了后面的狗粮。因为对于每个狗粮，时间流逝是一样的。其实这就是一个木桶原理（仔细读读题目，如果想看详细的去看 luogu 的）。

好了，这样真的直接做就做完了。这道题是道蓝题，代码只有 19 行。

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E. Packmen

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咕

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F. Berland Elections

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咕

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G. University Classes

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【题目大意】

给定 $n$ 个长度为 $7$ 的字符串，统计每一列 $1$ 的个数。

【解题思路】

暴力统计即可，直接做就做完了。

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H. Load Testing

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【题目大意】

给一个数组 $a$，问多少次对单个位置 $+1$ 操作后，能将序列变成前一段严格递增，后一段严格递减（即单峰序列）。

【解题思路】

考虑维护两个数组 $p_i$ 与 $q_i$，分别表示前 $i$ 个数为严格递增或第 $i$ 个数到第 $n$ 个数为严格递减时位置 $i$ 的最小值。

考虑计算这两个数组。对于前 $i$ 个数，考虑正序递推。由于它们是严格递增，所以 $p_i$ 最小为 $p_{i-1}+1$。但是只有 $+1$ 操作，所以如果 $p_{i-1}+1<a_i$，那么就有 $p_i=a_i$。所以有递推式

$$p_i=max(p_{i-1}+1,a_i)$$

同理，$q$ 倒序递推即可。有递推式

$$q_i=max(q_{i+1}+1,a_i)$$

考虑枚举最高点 $i$（即山峰），对于 $i$ 前面的数可以前缀和计算需要几次 $+1$，对于 $i$ 后面的数后缀和计算，对于 $i$ 这个数，取到的值为 $max(p_i,q_i)$，因为 $i$ 既属于前面的严格递增序列，也属于后面的严格递减序列。这样直接做就做完了。

形式化的：

记 $sa$、$sb$ 分别为 $a$ 的前缀和和后缀和数组，则有

$$s{a}_i=s{a}_{i-1}+a_i$$

$$s{b}_i=s{b}_{i+1}+a_i$$

记 $sp$、$sq$ 分别为 $p$ 的前缀和数组和 $q$ 的后缀和数组，则有

$$s{p}_i=s{p}_{i-1}+p_i$$

$$s{q}_i=s{q}_{i+1}+q_i$$

对于最高点 $i$，有答案为

$$an{s}_i=(s{p}_{i-1}-s{a}_{i-1})+(s{q}_{i+1}-s{b}_{i+1})+(max(p_i,q_i)-a_i);$$

注意需要特判整个序列严格单增或者严格单减的情况，有答案为

$$Ans=min(s{p}_n-s{a}_n,s{q}_1-s{b}_1,\underset{2\le i<n}{min}an{s}_i)$$

即

$$Ans=min(s{p}_n-s{a}_n,s{q}_1-s{b}_1,\underset{2\le i<n}{min}(s{p}_{i-1}-s{a}_{i-1}+s{q}_{i+1}-s{b}_{i+1}+max(p_i,q_i)-a_i))$$

这样就做完了。

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I. Noise Level

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咕

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J. Students Initiation

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咕

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K. Travel Cards

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咕

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L. Berland SU Computer Network

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咕

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M. Weather Tomorrow

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【题目大意】

给定一个 $n$ 个数的数列，如果它为等差数列输出第 $n+1$ 项，否则输出第 $n$ 项。

【解题思路】

注意到对于等差数列 $a$ 有 $2\times a_i=a_{i-1}+a_{i+1}(2\le i<n)$，直接做就做完了。