题解：P3462 [POI2007] ODW-Weights
P3462 题解
Problem
大意：有 \(m\) 个砝码，放到 \(n\) 个容器中，每个砝码有重量 \(w_i\)，每个容器有 \(v_i\) 的容量，求最多能放下的砝码数量。
同时，对于任意两个砝码，它们的重量成倍数关系。
Solution
这道题最关键的线索是：对于任意两个砝码，它们的重量成倍数关系。 这个条件意味着，尽管砝码的数量可能非常多，但它们的重量种类实际上是非常有限的。具体来说，由于每个砝码的重量都是其他砝码重量的整数倍（或相等），因此最多只有 \(\log_2(10^9) \approx 30\) 种不同的重量级别。这是因为在每个砝码重量都为 \(2^k\)（\(k\) 为非负整数）的极端情况下，砝码的种类数才会达到最大。
那么这道题从哪里入手呢？一般，我们都从题目中较小的数据范围入手。只有最多 \(30\) 种砝码，再结合算法标签中的提示，考虑使用进制解决这道题。
我们可以将问题转化为一个“进制拆分”的问题。具体来说，我们可以将每个容器的容量看作是一个由不同重量砝码组成的“数”，而这个“数”的每一位都对应着一种重量的砝码数量。
例如，在样例中，有一个容器的容量是 \(13\)，而砝码的重量有 \(2,4,12\) 这几种。我们可以尝试将 \(13\) 拆分成这几种重量的砝码组合。由于 \(13=12+1\)，但这里的 \(1\) 无法用给定的砝码表示（因为没有重量为 \(1\) 的砝码，或者即使有也无法单独使用，因为它不满足倍数关系），所以我们可以将其舍去，只考虑 \(12\)。当然，这个例子有些简化，实际中我们需要考虑所有可能的组合。
需要注意的一点是，拆分是从大往小拆，这点等会会说。
可以看到，题目中的容器是相互独立的，但我们进行进制拆分后就不需要单独考虑了。这是因为我们已经将容器的容量拆分为进制了，所以我们每次放砝码只需要在进制的每一位上加减即可，也就不需要单独考虑了。做法是直接将每个容器拆分，然后将拆分后的进制数加起来。
还是样例中，\(13\) 拆分为 \(0,0,1\)，\(9\) 拆分为 \(0,2,0\)，最后的总容量拆分为 \(0,2,1\)。
好，我们现在已经完成了总容量的进制拆分了。现在，我们需要考虑往容器里面放砝码了。考虑贪心策略，显然，从小往大放砝码一定是最优的。但如果一个位置没有了怎么办？借位！向它的高一位借一个 \(1\)。假设高位进制基数为 \(a\)，需要借位的基数为 \(b\)，那我们就向高位借走一个 \(a\) 容量，在低位就会多 \(a / b\) 个 \(b\) 容量。具体来说，它表现在进制数第 \(k + 1\) 位减 \(1\)，在进制数第 \(k\) 位加 \(a/b\)。如过 \(k + 1\) 位借不了怎么办？借 \(k + 2\) 位。\(k + 2\) 不行就 \(k + 3\)，一直到最高位，如果最高位都借不了那也就说明我们再也放不了砝码了。
好了，这就做完了，借位部分写一个 DFS 就行，具体实现参考代码。
代码：Link
