【HNOI2009】 最小圈
最小圈
Preface 前言
双（三）倍经验！
Problem model 问题模型
这三道题都是给定一张有向图，首先判断是否有环
如果有环就求出最大环或最小环的平均值
解决这种题，我们通常都是使用 二分答案 & SPFA 判环求最短（长）路
Train of thought 思路点拨
- 为什么会想到二分答案呢？
因为在找最大（小）环的时候我们一般会想到：
遍历整个图，找到每一个环，然后算出它们的平均值，最后比较出最大（小）值
但是题目可能是多组数据，还不说图的大小，所以这种思路大概率会 \(T\) 飞的
- 那怎么做？
——不能找环，那我们就直接找答案啊！（这里要转换一下思想）
因为找答案 \(=\) 枚举答案，而枚举答案一般使用较高效的二分答案！
- 再来转换一下关键式子
我们能将求答案\(ans\)的式子表示如下：
\(ans=(len_1+len_2+len_3+···+len_k)/K\)
数学转换一下：
\(ans*K=len_1+len_2+len_3+···+len_k\)
移项一下：
\((len_1+len_2+len_3+···+len_k)-ans*K=0\)
最后我们可得：
\((len_1-ans)+(len_2-ans)+(len_3-ans)+···+(len_k-ans)≥0\)
（因为最开始的式子是整除，会有精度问题，所以是 \(≥\) ）
- 经过上述转换之后，\(SPFA\) 中更新路径长度的写法就应该如下：
dis[v]>dis[now]+e[i].val-mid 或 dis[v]<dis[now]+e[i].val-mid
则 dis[v]=dis[now]+e[i].val-mid
其中 \(mid\) 是我们当前枚举的答案（第一句是最小环，第二句是最大环）
- \(check\) 函数的写法也变得显而易见：
每次枚举了 \(ans\)，就跑 \(SPFA\) ，如果存在环则说明当前枚举的 \(ans\) 是合法的，反之不合法
Code 代码
注：这三道题我都写的 \(dfs\) 版的 \(SPFA\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,u,v,tot;
double w,dis[520010];
int vis[520010],head[520010];
struct node {
int to,net;
double val;
} e[520010];
inline void add(int u,int v,double w) {
e[++tot].to=v;
e[tot].val=w;
e[tot].net=head[u];
head[u]=tot;
}
inline bool dfs(int now,double x) {
vis[now]=1;
for(register int i=head[now];i;i=e[i].net) {
int v=e[i].to;
if(dis[v]>dis[now]+e[i].val-x) {
dis[v]=dis[now]+e[i].val-x;
if(vis[v]==1||dfs(v,x)==true) return true;
}
}
vis[now]=0;
return false;
}
inline bool check(double x) {
for(register int i=1;i<=n;i++) {
vis[i]=0;
dis[i]=20050206;
}
for(register int i=1;i<=n;i++) {
if(dfs(i,x)==true) return true;
}
return false;
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&m);
for(register int i=1;i<=m;i++) {
scanf("%d%d%lf",&u,&v,&w);
add(u,v,w);
}
double l=-10000000,r=10000000;
while(r-l>1e-10) {
double mid=(l+r)/2;
if(check(mid)==true) r=mid;
else l=mid;
}
printf("%.8lf",l);
return 0;
}
Epilogue 尾声
最后，如果这篇题解有任何问题或不懂的地方，欢迎留言区评论
我一定会及时回复、改正，谢谢各位dalao呀！orz
