狡猾的商人
狡猾的商人
前言
大概一定是我太蒻了，卡在这道题的差分约束做法上卡了几个小时QAQ
在摸差分约束做法前，得出了类似于这位dalao题解的思路，可惜因为没想到优先队列而选择了\(vector\)，所以没有实现（在看了题解之后独自编出来了，会具体讲解）
做法
-
优先队列
-
差分约束系统
（对优先队列那种神奇做法不感兴趣的可以直接跳过看差分约束做法）
优先队列
还是算有点贪心+模拟的思路吧？因为这种做法好像没名字（传说中的玄学孤儿算法qwq）
先来分析一波两个样例（直接见图即可）：
所以，我们可以得出一种解决方法：
先将输入的区间按规则排序，然后依次比较前后两个区间，遇到左端点相等的就推出另一个式子压入待处理判断的数组中，如果有两个式子相矛盾就直接输出\(false\)，否则最后输出\(true\)
排序规则：左端点相等则右端点小的在前，否则按左端点小的排在前
这里我们需要思考一下，因为是前后两个区间比对，所以我们每压入一个新的式子都要进行如上排序。那怎么实现？直接\(sort\)肯定是会超时的
在看了最上面那篇题解后，恍然大悟：直接用重载的优先队列啊！
至于时间复杂度的证明，我也不会，但是优先队列确实比\(sort\)跑得快
放上代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n,m;
struct node {
int u,v,w;
bool operator < (const node &x)const { //重载运算符版的优先队列
if(u!=x.u) return u>x.u;
return v>x.v;
}
} a;
priority_queue<node> q;
int main() {
scanf("%d",&T);
while(T--) {
bool flag=true;
while(!q.empty()) q.pop(); //记得清空
scanf("%d%d",&n,&m);
for(register int i=1;i<=m;i++) {
scanf("%d%d%d",&a.u,&a.v,&a.w);
q.push(a); //输入一个就压入一个
}
node fir=q.top();
q.pop();
// cout<<fir.u<<" "<<fir.v<<" "<<fir.w<<endl;
while(!q.empty()) {
node sec=q.top();
q.pop();
// cout<<sec.u<<" "<<sec.v<<" "<<sec.w<<endl;
if(fir.u==sec.u) { //左端点相等
if(fir.v==sec.v) { //右端点相等（则说明区间重合）
if(fir.w!=sec.w) { //如果值不一样，说明矛盾，直接false退出
puts("false");
flag=false;
break;
}
}
else {
if(fir.v<sec.v) {
q.push((node) {
fir.v+1,sec.v,sec.w-fir.w
});
}
}
}
fir=sec; //不断的一个个往后比较
}
if(flag==true) puts("true");
}
return 0;
}
差分约束系统
不了解差分约束系统的珂见这篇博客啊qwq 无耻
我们首先需要确定的是这题跑最短路还是最长路
我个人偏向于跑最长路（因为跑最短路似乎也能A？）
为什么是最长路？因为在差分约束系统中跑最长路得到的是最小解（不懂的就上面的链接吧ovo），且如果最小解都满足了那大一点的解肯定也满足
那本题的约束条件是什么？直接是输入中的\(t-s=v\)吗？
当然不是！转换一下思路，从\(s\)到\(t\)的总收入可以用前缀和表示：\(sum[i]\)表示\(i\)月之前的所有月收入的总和
那约束条件则是\(sum[t]-sum[s-1]=v\)！
再转换上面那个式子，就得到如何建边：
-
\(sum[t]-sum[s-1]≥v\)，所以从\(t\)到\(s-1\)连一条权值为\(v\)的边
-
\(sum[t]-sum[s-1]≤v\)，所以从\(s-1\)到\(t\)连一条权值为\(-v\)的边
然后就是正常的跑差分约束系统的最长路板子了（这里采用全部入队的方式，而不是使用超级源点）
代码如下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n,m,u,v,w,tot;
int dis[250010],vis[250010],cnt[250010],head[250010];
struct node {
int to,net,val;
} e[250010];
inline void add(int u,int v,int w) {
e[++tot].to=v;
e[tot].val=w;
e[tot].net=head[u];
head[u]=tot;
}
inline bool spfa() { //spfa求差分约束系统最长路板子
queue<int> q;
for(register int i=0;i<=n;i++) {
dis[i]=0;
vis[i]=1;
cnt[i]=1;
q.push(i);
}
while(!q.empty()) {
int x=q.front();
q.pop();
vis[x]=0;
for(register int i=head[x];i;i=e[i].net) {
int v=e[i].to;
if(dis[v]<dis[x]+e[i].val) { //求最长路
dis[v]=dis[x]+e[i].val;
if(cnt[v]==n) return false; //形成环
if(!vis[v]) {
cnt[v]++;
vis[v]=1;
q.push(v);
}
}
}
}
return true;
}
int main() {
scanf("%d",&T);
while(T--) {
tot=0;
memset(head,0,sizeof(head)); //一定要清空
scanf("%d%d",&n,&m);
for(register int i=1;i<=m;i++) {
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
add(u-1,v,w);
add(v,u-1,-w);
}
if(spfa()==false) puts("false");
else puts("true");
}
return 0;
}
然后，感谢一些同桌对我程序的修改
最后，如果这篇题解有任何问题，欢迎在留言区留言，我会及时改正，谢谢qwq
