差分约束系统

【模板】差分约束

洛谷P5960 【模板】差分约束算法

前置知识

想要做对差分约束，负环判定这个知识肯定是要会的，不会的可以看我的另一篇博客qwq

另外，若干您不想看题解，也可以直接看判断负环的模板题P3385

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差分约束系统

（以下内容部分摘自《算法竞赛进阶指南》）

• 差分约束系统

差分约束系统是一种特殊的$N$元一次不等式

它包含$N$个变量$X_1$ ~ $X_n$以及$M$各约束条件，每个约束条件都是由两个变量做差构成的（所以是差分嘛！），形如$X_i-X_n≤C_k$，其中$C_k$是常数（可以是负数也可以是非负数），$1≤i,j≤N，1≤k≤M$

我们要解决的问题就是：求一组解$X_1=a_1,X_2=a_2···X_n=a_n$，使所有约束条件都得到满足

• 转换思想

差分约束系统的每个约束条件$X_i-X_j≤C_k$可以变形为$X_i≤X_j+C_k$

有没有觉得有那么一点点的熟悉？

嗯...和求解单源最短路中的三角形不等式$dis[i]≤dis[j]+e[i].val$（$dis[i]-dis[j]≤e[i].val$）非常相似

因此可以三角形不等式推广：把每个变量$X_i$看作有向图中的一个节点$i$，对于每个约束条件$X_i-X_n≤C_k$，从节点$j$向节点$i$连一条长度为$C_k$的有向边

现在来看下面给出的这张图，来讲解一下差分约束中的最短路和最长路（可能有点绕，但是图很好理解）：

从这张图中的例子，我们不难得出（重点啊）：

1. 差分约束跑最短路，跑出的结果是所有解中的最大解

2. 差分约束跑最长路，跑出的结果是所有解中的最小解

但是，最短路和最长路也是可以互相转换的，什么意思？（需要掌握）

在某些题目中，约束条件形如$x_i-X-j≥C_k$，我们有两种方式解决：

1. 可以从$j$到$i$连一条长度为$C_k$的有向边，然后计算单源最长路，若图中有正环则无解

2. 我们也可以把约束条件转化成$X_j-X_i≤-C_k$，再按单源最短路进行计算

• 解题模型

PS：差分约束是有多组解的，但是题目一般只会要求输出其中任意一种

1. 建立“超级源点0”，将$0$与每个点$i$连一条长为$0$的边，然后以$0$为起点求单源最短路

2. 不建立“超级源点”，将每一个点都入队然后去跑最短路

若图中存在负环，则给定的差分约束系统无解；否则$X_i=dis[i]$就是差分约束系统的一组解

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例题代码

现在给出这道模板题的代码（如下是$SPFA$版本的，下面会给出$Ford$版本的函数段）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
queue<int> q;
int n,m,u,v,w,tot;
int dis[200010],vis[200010],cnt[200010],head[200010];

struct node {
	int to,net,val;
} e[200010];

inline void add(int u,int v,int w) {
	e[++tot].to=v;
	e[tot].val=w;
	e[tot].net=head[u];
	head[u]=tot;
}

inline bool spfa() {
	for(register int i=0;i<=n;i++) {
		vis[i]=0;
		dis[i]=20050206;
	}
	dis[0]=0;
	vis[0]=1;
	q.push(0);
	while(!q.empty()) {
		int x=q.front();
		q.pop();
		vis[x]=0;
		for(register int i=head[x];i;i=e[i].net) {
			int v=e[i].to;
			if(dis[v]>dis[x]+e[i].val) {
				dis[v]=dis[x]+e[i].val;
				if(cnt[v]>=n) return false;
				if(!vis[v]) {
					vis[v]=1;
					cnt[v]++;
					q.push(v);
				}
			}
		} 
	}
	return true;
}

int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(register int i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		add(v,u,w);
	}
	for(register int i=1;i<=n;i++) add(0,i,0);
	if(spfa()==false) puts("NO");
	else {
		for(register int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]);
	}
	return 0;
} 

下面是$Ford$版本的函数段，其他的和上面的没什么区别

inline bool ford() {
	for(register int i=0;i<=n;i++) dis[i]=20050206;
	dis[0]=0;
	for(register int i=0;i<n;i++) {
		for(register int j=1;j<=tot;j++) {
			if(dis[e[j].fro]+e[j].val<dis[e[j].to]) {
				dis[e[j].to]=dis[e[j].fro]+e[j].val;
			}
		}
	}
	for(register int i=1;i<=tot;i++) {
		if(dis[e[i].fro]+e[i].val<dis[e[i].to]) return false;
	}
	return true;
}

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更新于：2020.7.3——狡猾的商人题解

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最后，关于上面其他好题的题解我会陆陆续续更新在我的博客中，欢迎大家来踩qwq

如果有任何不懂或是我的题解有误的，欢迎大家在评论区留言，我会及时回复、改正，谢谢大家啊orz

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