[AHOI2022] 山河重整 解析

题目大意

给定整数集合 $S=\{1,...,n\}$, 计算有多少个子集 $T\subseteq S$, 使得 $1,2,\dots ,n$ 都可以被表示为 $T$ 的一个子集中所有数的和. $n\le 5\times {10}^5$, 答案对 $M$ 取模.

解法概要

设 $a_{k+1}$ 计数和为 $k$, 且可以表达出 $1,\dots ,k$ 的集合数量. 由于每个集合存在最小的不可表示之数, 得到生成函数方程

$$\sum _k{a}_k{x}^k(1+x^{k+1})(1+x^{k+2})\cdots =x\cdot (1+x)(1+x^2)\cdots$$

而答案就是 ${\displaystyle 2^n-\sum _k{a}_k{2}^{n-k}}$.

若进行倍增转化只需解决给定一组 $a_k$, 计算

$$\sum _k{a}_k{x}^k(1+x^{k+1})(1+x^{k+2})\cdots$$

的问题.

注意到 ${\displaystyle (1+x^k)(1+x^{k+1})\cdots =\sum _{j\ge 0}\frac{x^{j(j-1)/2+jk}}{(1-x)\cdots (1-x^j)}}$, 原恒等式的 LHS 可以展开成

$$\begin{array}{rl}\sum _k{x}^k{a}_k\sum _{j\ge 0}\frac{x^{j(j-1)/2+j(k+1)}}{(1-x)\cdots (1-x^j)}& =\sum _{j\ge 0}\frac{x^{j(j+1)/2}}{(1-x)\cdots (1-x^j)}\sum _k{a}_k{x}^{(j+1)k}\\ & =\sum _{j\ge 0}\frac{x^{j(j+1)/2}}{(1-x)\cdots (1-x^j)}A(x^{j+1}),\end{array}$$

因此我们有

$$A(x)=x(1+x)(1+x^2)\cdots -\sum _{j\ge 1}\frac{x^{j(j+1)/2}}{(1-x)\cdots (1-x^j)}A(x^{j+1}).$$

右式可以 $j$ 从大到小合并, 复杂度为 $O(n^{3/2})$.

若干注记

Remark 1 有人认为 集合里只用考虑加入了 $O(\sqrt{n})$ 个数 是本题的一个关键的切入点, 但这个性质是不重要的. 我们知道, 整数拆分有 Durfee Square 分解, 适当调整题意将问题改成类似的拆分问题 (例如每个数可以出现任意多次) 仍然可以有类似的 $O(n^{3/2})$ 算法, 从整数拆分的 $O(n^{3/2})$ DP 的角度也有此结论.

Remark 2 如许使用 FFT, 我们能做得更好: 我们将 $A(x)$ 的前 $b$ 项和后面的项分开处置, 前面的项可以写作

$$(\prod _{i\ge 1}(1+x^i))\sum _{i=1}^b\frac{a_i{x}^i}{(1+x)\cdots (1+x^i)},$$

通过分治 FFT 可以在 $O(b^2{\log }^{2}n)$ 时间内计算.

后面的项按照原来的方法处理, 复杂度是 $O(n^2/b)$.

平衡复杂度为 $O(n^{4/3}{\log }^{2/3}n)$.

Question 1: 是否存在 $n$ 上指数更低的算法? 不过相关问题的思考表明, $\tilde{O}(n^{4/3})$ 可能也是一个相当典型的构造. 此外, 也有一些更奇怪的问题可以做到 $\tilde{O}(n^{5/4})$, 不太确定其思想能否派上用场.

Remark 3 本题的另一个扩展方向是变成输入的整数拆分, 比如将一开始的整数集合 $S$ 从给定的一个很规则的集合改为输入. 但这一方面当时似乎只得到了类似 $\tilde{O}(n^{3/2})$ 的平凡结果, 实现也颇为笨重, 故没有进一步探索.

多余的话

标题来自小时候听到的一首三体同人曲《冥王星的雪》:

说什么山河重整 桃源里偷度余生
梦难承 几擦肩几度重逢