[AHOI2022] 山河重整 解析

题目大意

给定整数集合 \(S=\{1,...,n\}\), 计算有多少个子集 \(T\subseteq S\), 使得 \(1,2,\dots,n\) 都可以被表示为 \(T\) 的一个子集中所有数的和. \(n\le 5\times 10^5\), 答案对 \(M\) 取模.

解法概要

设 \(a_{k+1}\) 计数和为 \(k\), 且可以表达出 \(1,\dots,k\) 的集合数量. 由于每个集合存在最小的不可表示之数, 得到生成函数方程

\[\sum_k a_k x^k(1+x^{k+1})(1+x^{k+2})\cdots = x\cdot (1 + x)(1+x^2)\cdots \]

而答案就是 \(\displaystyle 2^n - \sum_k a_k 2^{n-k}\).

若进行倍增转化只需解决给定一组 \(a_k\), 计算

\[\sum_k a_k x^k(1+x^{k+1})(1+x^{k+2})\cdots \]

的问题.

注意到 \(\displaystyle (1+x^k)(1+x^{k+1})\cdots = \sum_{j\ge 0}\frac{x^{j(j-1)/2+jk}}{(1-x)\cdots(1-x^j)}\), 原恒等式的 LHS 可以展开成

\[\begin{align*} \sum_{k} x^ka_k\sum_{j\ge 0}\frac{x^{j(j-1)/2+j(k+1)}}{(1-x)\cdots(1-x^j)} &= \sum_{j\ge 0} \frac{x^{j(j+1)/2}}{(1-x)\cdots (1-x^j)} \sum_k a_k x^{(j+1)k}\\ & = \sum_{j\ge 0} \frac{x^{j(j+1)/2}}{(1-x)\cdots (1-x^j)} A(x^{j+1}), \end{align*} \]

因此我们有

\[A(x) = x(1+x)(1+x^2)\cdots - \sum_{j\ge 1} \frac{x^{j(j+1)/2}}{(1-x)\cdots (1-x^j)} A(x^{j+1}). \]

右式可以 \(j\) 从大到小合并, 复杂度为 \(O(n^{3/2})\).

若干注记

Remark 1 有人认为 集合里只用考虑加入了 \(O(\sqrt n)\) 个数 是本题的一个关键的切入点, 但这个性质是不重要的. 我们知道, 整数拆分有 Durfee Square 分解, 适当调整题意将问题改成类似的拆分问题 (例如每个数可以出现任意多次) 仍然可以有类似的 \(O(n^{3/2})\) 算法, 从整数拆分的 \(O(n^{3/2})\) DP 的角度也有此结论.

Remark 2 如许使用 FFT, 我们能做得更好: 我们将 \(A(x)\) 的前 \(b\) 项和后面的项分开处置, 前面的项可以写作

\[ \left(\prod_{i\geq 1} (1 + x^i)\right) \sum_{i=1}^{b} \frac{a_i x^i}{(1+x)\cdots(1+x^i)}, \]

通过分治 FFT 可以在 \(O(b^2\log^2n)\) 时间内计算.

后面的项按照原来的方法处理, 复杂度是 \(O(n^2/b)\).

平衡复杂度为 \(O(n^{4/3} \log^{2/3} n)\).

Question 1: 是否存在 \(n\) 上指数更低的算法? 不过相关问题的思考表明, \(\tilde O(n^{4/3})\) 可能也是一个相当典型的构造. 此外, 也有一些更奇怪的问题可以做到 \(\tilde O(n^{5/4})\), 不太确定其思想能否派上用场.

Remark 3 本题的另一个扩展方向是变成输入的整数拆分, 比如将一开始的整数集合 \(S\) 从给定的一个很规则的集合改为输入. 但这一方面当时似乎只得到了类似 \(\tilde O(n^{3/2})\) 的平凡结果, 实现也颇为笨重, 故没有进一步探索.

多余的话

标题来自小时候听到的一首三体同人曲《冥王星的雪》:

说什么山河重整 桃源里偷度余生
梦难承 几擦肩几度重逢