区间半群查询与 Ackermann 函数

最近在思考半在线卷积的复杂度有没有可能进一步优化, 决定先理清类似的问题以寻求经验.

一区间合并

如果询问的时候不能进行半群运算, 显然我们需要在预处理阶段处理所有答案, 必须进行 $O(n^2)$ 次计算.

二区间合并

如果询问的时候可以进行一次半群运算, 则可以把序列每次在中点处折开, 处理中点到两边的信息, 然后剩下的递归下去.

这样预处理的时间是 $O(n\log n)$, 询问只需要 $1$ 次询问.

四区间合并

先把序列分成 $n/\log n$ 个大小为 $\log n$ 的块, 消耗 $O(n)$ 的时间处理出每个块前缀和后缀的信息.

询问的时候, 如果端点在同一个块里, 则直接考虑子问题里的情况. 否则取两端块的前后缀信息, 拼上一个对块预处理的二区间结构. 这是个四区间合并.

由于我们现在是对一个 $n/\log n$ 大小的数组做二区间合并的信息预处理, 时间是 $O(n)$ 的, 然后要对每个小块递归下去, 所以时间复杂度是 $T(n)=O(n)+(n/\log n)T(\log n)$. 也就是 $n$ 乘以这个递归的深度, 即 $O(n{\log }^{\ast }n)$.

查询只需要 $3$ 次运算.

$2k$ 区间合并

我们已经积累了足够的经验, 可以考虑攻克一般的 $2k$ 了.

我们考虑定义 $n=T(m,k)$ 是这样一个函数: $n$ 是递归确定的数, 满足: 查询是 $2k$ 区间合并的时候, 长度 $\le n$ 的数列可以只用 $mn$ 次运算.

对于二区间合并而言, 分治一个 $2^{\ell }$ 的数组, 在顶层需要消耗 $2^{\ell }-2$ 次运算. 总共的运算次数就是 $(\ell -2)2^{\ell }+2\le (\ell -1)2^{\ell }$, 我们可以取 $n=2^{m+1}$. 于是令

$$T(m,1)=2^{m+1}.$$

接下来考虑 $2k$ 区间合并. 回忆我们的策略是把序列切成很多个块, 块形成的数列用 $2(k-1)$ 区间合并的数据结构来做. 设 $n=n^{\prime }{L}^{\prime }$, 其中 $n^{\prime }$ 是块形成的数列长度, 我们接受 $L^{\prime }$ 时间的预处理, 所以 $n^{\prime }=T(L^{\prime },k-1)$. 但还需要前后缀的维护, 现在扫一层的时间是 $3n$. 所以令 $L^{\prime }=T(m-3,k)$.

现在我们重新理一遍思路:

对于 $n=n^{\prime }{L}^{\prime }$, 对于每个落在大小为 $L^{\prime }$ 的块, 我们给每个块分配 $(m-3)L^{\prime }$ 的预处理时间, 所有块的预处理时间只和不超过 $(m-3)n$. 对于 $n^{\prime }$ 大小的块, 我们花了 $2n^{\prime }$ 时间预处理所有前后缀, 外加 $n^{\prime }{L}^{\prime }=n$ 的时间预处理它的 $2(k-1)$ 区间合并的结构.

于是我们有

$$T(m,k)=T(m-3,k)T(T(m-3,k),k-1).$$

最后补一下边界情况, 不妨直接让 $T(0,k)=T(1,k)=T(2,k)=2k$.

那么对于 $n\le T(m,k)$, 可以在 $mn$ 次预处理的情况下支持每次查询 $2k-1$ 次操作.

Ackermann 函数

不妨令 $m=3p$, 然后让 $T$ 的输出缩小到 $1/3$ 量级, 记为新的函数 $S(p,k)$.

由于 $T(3p,1)=2^{3p+1}\ge 2^{3p-1}\cdot 3$, 所以令 $S(p,1)=2^{3p-1}$.

对于递归式, 由于 $T(3p,k)\ge T(T(3p-3,k),k-1)$, 令 $S(p,k)=S(S(p-1,k),k-1)$.

再对于 $k\ge 2$, 令边界条件 $S(0,k)=\lfloor 2k/3\rfloor$.

现在整理我们的定义:

$S(p,1)=2^{3p-1}$.

$S(0,k)=\lfloor 2k/3\rfloor$.

$S(p,k)=S(S(p-1,k),k-1)$.

回顾 Ackermann 函数 $A(m,n)$ 的定义:

$A(0,n)=n+1$,

$A(m+1,0)=A(m,1)$,

$A(m+1,n+1)=A(m,A(m+1,n))$.

只要证明存在 $c$ 使得 $S(cn,cn)>A(n,n)$, 就可以证明: $n$ 次询问只需要 $O(n\alpha (n))$ 次半群运算了.

(鸽)