矩阵乘法指数的基域不变性

昨天意识模糊的时候突然想到了这个东西如何证明, 重新发明了一遍.

对于域 \(F\), 我们记 \(\omega(F)\) 为在域 \(F\) 上的矩阵乘法的张量秩给出的

\[\omega(F) = \inf_{n} \frac{\log R(\langle n,n,n\rangle)}{\log n}, \]

我们知道, 对于无限域 \(F\) 来说, 这本质刻画了矩阵乘法的复杂度.

定理 (Schönhage). 若 \(K\) 是 \(F\) 的扩域, 那么 \(\omega(F) = \omega(K)\).

这看起来是比较直观的: 扩域不应该能够提高计算能力.

证明. 注意到对于 \(F\) 上的一个张量分解, 永远构成 \(K\) 上的一个张量分解, 所以 \(R_K(\langle n,n,n\rangle) \leq R_F(\langle n,n,n\rangle )\).

反过来的方向是比较深刻的. 现在对于一个固定的 \(n\), 我们有一个 \(K\) 上的张量分解, 设其秩为 \(r\), 那么这就可以写成

\[\langle n,n,n\rangle = \sum_{t=1}^r \left( \sum_{i} a_i^{(t)} e_i^{(1)} \right)\left( \sum_{j} b_j^{(t)} e_j^{(2)} \right)\left( \sum_{k} c_k^{(t)} e_k^{(3)} \right), \]

对每个 \(e_i^{(1)}e_j^{(2)}e_k^{(3)}\) 展开, 我们就得到了一个关于全体 \(a,b,c\) 的多项式方程组.

张量分解在 \(K\) 上存在, 就是说这个方程在 \(K\) 上有解. 我们将这个方程组看成一个多项式环 \(F[A_i^{(t)},B_j^{(t)},C_k^{(t)}]\) 上的理想 \(I\), 它在 \(K\) 上有解, 那么 \(I \otimes_F K\) 在 \(K[A_i^{(t)},B_j^{(t)},C_k^{(t)}]\) 中不包含 \(1\), 因此 \(I\) 本身就不包含 \(1\).

那么, 根据 Hilbert 零点定理, \(I\) 在代数闭包 \(\overline{F}\) 上有解, 取一组解 \(\alpha_i^{(t)}, \beta_j^{(t)}, \gamma_k^{(t)}\), 他们给出有限扩张

\[L = F(\alpha_i^{(t)}, \beta_j^{(t)}, \gamma_k^{(t)}), \]

注意到 \(\langle n,n,n\rangle^{\otimes d} = \langle n^d,n^d,n^d\rangle\) 由这组解给出 \(L\) 上的一个秩为 \(r^d\) 的张量分解, 但与此同时, \([L:F]\) 与 \(d\) 无关, 我们可以通过选定一组基来得到

\[R_F(T) \leq R_L(T) \cdot [L:F]^3, \]

进而

\[\log R_F(\langle n,n,n\rangle^{\otimes d}) \leq d\log r + 3\log [L:F], \]

所以 \(\omega(F)\leq \omega(K)\), 综合起来我们就有 \(\omega(F) = \omega(K)\). \(\square\)

这告诉我们, 矩阵乘法的指数仅取决于域的特征. 但从目前来说, 尚未发现根据域的特征而特殊设计的矩阵乘法.