我劝你读读 [Björklund 选集] (1)

Rota 曾言, "每个数学家其实也只有几个 trick, 即使是 Hilbert 也是如此".

Björklund 的许多工作要么是给一些问题的指数做出了惊人的改进, 要么是给一些神奇的问题给出了多项式复杂度的算法. 当我们统一审视这些问题的时候, 大概能够发现 Björklund 基本上围绕两个思想: 一个是将问题代数化 (其中可能需要设计一些合适的抵消), 另一个是通过合适的方式利用组合侧的随机化, 来进行 "挤水".

之前的博客里讲过的一些东西就不复读了.

$k$-d matching

给出 $kn$ 个点, 分成 $k$ 个大小为 $n$ 的部分 $V_1,\dots ,V_k$, 然后给出若干条超边 (hyperedge), 也即一条边 $e$ 在每个 $V_i$ 里有一个端点. 问这个图是否有完美匹配.

显然, $k=2$ 的情况是传统的二分图匹配, 而众所周知 $k=3$ 就已经是 NPC 问题了.

我们先看 $k=3$ 的情况.

先考虑前两部图, 也即 $V_1,V_2$ 的部分, 每条边就是真的一条边, 我们需要选出一个完美匹配, 满足每条边对应的 $V_3$ 里的点互不相同.

我趣, 这不是我们子集卷积吗. 拍上去, $O^{\ast }(2^n)$ 做完了.

对于一般的 $k$, 显然能做到 $O^{\ast }(2^{(k-2)n})$.

$k$-set exact cover

给出一些大小为 $k$ 的集合, 问能否选出一些集合构成精确覆盖.

对于 $k=2$ 的情况, 这无非是一般图匹配.

对于 $k=3$ 的情况, 我们可以先考虑随机选取一个大小为 $\rho n$ 的子集. 如果有一个精确覆盖的话, 看每个三角形和这个子集的关系. 交集大小有可能是 $0,1,2,3$.

我们假设交集大小都是 $0,1,2$. 那么 $0$ 的那部分可以直接把集合幂乘起来. $1$ 和 $2$ 部分, 我们记 $D$ 是那些交集为 $1$ 的三角形, $A$ 是那些交集为 $2$ 的三角形构成的反对称矩阵. 那么 $D+A$ 的行列式会枚举出选这些点和边的完美覆盖, 有一些符号的交替, 但总而言之是多项式时间的.

这个做法一次测试的时间是 $O^{\ast }(2^{(1-\rho )n})$ 的, 因为有这么多大小的集合幂级数信息. 但它也只有指数级别的成功概率 $c(\rho {)}^n$. 我们需要重复试验 $c(\rho {)}^{-n}$ 才能成功.

经过优化, $2^{1-\rho }c(\rho {)}^{-1}$ 可以取到最小值 $\approx 1.496$.

一般而言, 对于更大的 $k$ 也可以得到对应的挤水结果.

无向图, 经过 $k$ 个指定点的最短回路

注意, 没有指定 $k$ 个点的经过顺序, 只要求它们都被经过了.

首先进行一个理智检验: 如果 $k=n$, 这是哈密顿路, 恐怕只能有指数时间算法. 如果能有一个 $c^k{n}^{O(1)}$ 算法就很好了.

首先我们先看看如何大概通过 "计数" 知道是否有解.

无向图这个条件相当关键, 我们考虑在计数的过程中, 从 $k$ 个点的第一个点出发, 过程中经过每个点恰好一次.

如果一条路径有交点, 因为我们考虑的是 无向图, 那么路径的一侧可以翻转, 又得到一条不同的路径.

如果我们是在特征为 $2$ 的域上计数, 那么这个对合原则上就会消去所有的非简单路径.

当然, 这需要一些更加细致的讨论, 比如为了防止所有路径被调换, 我们要要求 $1$ 出发的点要比最后回来时候的点小. 记录路径的时候要记上一个点, 以防直接走回去, 这样非简单路径一侧只有一条边的话是不能对合的.

这样的状压 DP 复杂度大约是 $2^k{n}^{O(1)}$.

特征为 $2$ 的域不能用太小的 ${\mathbb{F}}_2$, 但用大一些的就可以了.

Comment. 鉴于现在哈密顿路已经做到了 ${1.66}^n$, 把 $2^k$ 的底数优化并非不可能.

无向图, 两对点之间的不交最短路径

给定 $s_1\to t_1,s_2\to t_2$, 问是否存在两条不交的路径总和最短.

记邻接矩阵为 $A$, 我们给 $s_1,s_2,t_1,t_2$ 以外的对角线位置都 $+1$, 然后给 $A_{s_1,t_1},A_{s_2,t_2}$ 位置加一的话, $\mathrm{per}A$ 会枚举两条路径勾连 $s_1,t_1,s_2,t_2$. 但这不是准确的说法, 因为路径还有可能是 $s_1\to t_2,s_2\to t_1$ 甚至 $s_1\to s_2,t_2\to t_1$ 的.

但神奇的是, 如果另外考虑这么勾连的另外两种矩阵 $A^{\prime }$ 和 $A^{″}$, 可以把它们线性组合, 把错误的方案消掉, 但相应的, 正确的方案被数了两倍.

我们不能再用特征为 $2$ 的域上 $\mathrm{per}=det$ 了, 但是 $mod4$ 也能做.

以及为此, 为了解决最短, 需要挂在多项式上, 需要 $mod4$ 的多项式上的 $\mathrm{per}$. 但总之这是 $n^{O(1)}$ 可解的.

Comment. 经过实验, 三个点对的情况好像不能用 per 这么简单地消出来了, 但是也没有显著证明说明三个点对做不了.

三阶张量的渐进秩猜想 和 $k$-集合覆盖猜想 互斥

渐进秩猜想 是说, 对于一个三阶张量 $T\in K^{r\times r\times r}$, 有 $R(T^{\otimes n})\le r^{n+o(n)}$.

注意这个猜想是非常强的, 比如它会直接推出 $\omega =2$.

而 $k$-集合覆盖猜想 是说, 不存在一个 $\delta >0$, 使得任何 $k$-集合覆盖都有 $(2-\delta {)}^n$ 算法. 其中 $k$-集合覆盖就是输入的集合都 $\le k$ 的集合覆盖问题.

对于常数大小的 $k$, 我们可以补齐所有集合的子集, 这样覆盖就变成了精确覆盖.

现在考虑这样一个问题: 给三个集族 $\mathcal{A}\mathcal{,}\mathcal{B}\mathcal{,}\mathcal{C}$, 每个集族包含的都是一些大小 $\le (1/3+\tau )n$ 大小的集合, 问是否能从 $\mathcal{A}\mathcal{,}\mathcal{B}\mathcal{,}\mathcal{C}$ 里各选出一个集合, 构成 $[n]$ 的精确覆盖.

显然用子集卷积可以做到 $O^{\ast }(2^n)$, 而且这个问题能 $O^{\ast }((2-\delta {)}^n)$ 的话, 也就能以差不多的复杂度否决 $k$-集合覆盖猜想.

考虑张量 $T=x_1{y}_0{z}_0+x_0{y}_1{z}_0+x_0{y}_0{z}_1$ 的 $T^{\otimes n}$, 这个张量计算的恰好就是子集卷积 $X\bigsqcup Y\bigsqcup Z=[n]$.

我们考虑把 $T^{\otimes 3}$ 挖掉三维的全集部分, 记为 $P$, 那么 $P$ 是一个 $7\times 7\times 7$ 的张量. $P^{\times (n/3)}$ 枚举的是 $X\bigsqcup Y\bigsqcup Z$, 但每三个块都没有被其中任何一个集合独占.

如果 渐进秩猜想 成立, 那么 $P^{\otimes (n/3)}$ 的计算是可以 $7^{n+o(n)}$ 完成的.

现在把 $[n]$ 先随机排列一下, 然后分成 $\alpha n$ 部分和 $(1-\alpha )n$ 部分, 后面的部分三个一组, 用 $P$ 的高阶张量幂计算. 复杂度是 $(2^{\alpha }{7}^{(1-\alpha )/3}{)}^{n+o(n)}$.

但这样的计算也是有错误率的, 记为 $c(\alpha {)}^n$, 我们需要重复试验 $c(\alpha {)}^{-n}$ 次才能成功.

经过计算和挤水, 发现对于 $\tau ={10}^{-3}$, 可以做到 $(2-{10}^{-6}{)}^n$.

这就说明了 $k$-集合覆盖猜想 和 渐进秩猜想 互斥.

值得一提的是, 容易发现上面那个集合覆盖问题, 也会顺带解决有向图的 Hamilton 路问题, 这可能也是 Björklund 考虑这个东西的一个原因.

Comments 现在对于代数算法已经到了 虐待 的程度. 我们记得, 之前有 Nederlof 的结果说明, $\omega =2$ 则无向二分图 TSP 可以 ${1.99999}^n$ 计算. 那个做法用到了非常复杂的手段, 最后也要挤水.

回想对于代数算法的早期运用, 只要 $\omega <3$ 往往就能给出惊人的加速. 但现在这一代结论却需要 $\omega <2.000001$ 这种.

你愿意相信这给 $\omega$ 的下界提供了一种证据吗?

或者, $k$-集合覆盖猜想 可以看做是 SETH 的一个类比, 那么我们能否用代数算法和 SETH 联系起来, 甚至和 CKT-SETH 联系起来?

更加野心勃勃的计划: 能否将对于代数算法的 虐待 进行 scale down, 得到非平凡的 $\mathcal{C}$-电路可满足性 问题的加速, 进而得到下一代线路复杂性下界?

(upd: 然后 Kevin Pratt 最近显著地加强了一点这个结果...)