椭圆曲线的 Hasse 界
\(\DeclareMathOperator{\ch}{char}\)
对于系数在 \(\mathbb F_q\) 上的椭圆曲线 \(E\), 当然我们说椭圆曲线一般来说是讨论的在整个 \(\overline{\mathbb F_q}\) 上的曲线. Hasse 界说的是 \(E\) 的 \(\mathbb F_q\)-有理点数量 \(\# E(\mathbb F_q)\) 的一个控制: \(|q + 1 - \# E(\mathbb F_q)| \leq 2\sqrt{q}\).
本篇的主要目的是勾勒涉及的顶层结构, 一些结论的证明可能有所略去. (主要原因是我太菜)
除子
考虑一个代数闭域 \(K\), 对于 \(K\) 上的有理函数 \(f\in K(X)\), 我们总可以将分子分母完全作因子分解, 得到 \(f(X) = c\prod_i (X - x_i)^{n_i}\), 其中 \(n_i\) 可以是正的也可以是负的. 此时我们就可以称 \(f\) 在 \(x_i\) 处的阶 \(\operatorname{ord}_{x_i}(f)\) 为 \(n_i\), 其他点处的阶都是 \(0\). 哦对, 还有就是在 \(\infty\) 处的阶, 也就是按照 \(1/x\) 的形式展开, 所以对于 \(f = p/q\) 来说阶是 \(-(\deg p - \deg q)\), 我们整理一下可以发现加上无穷远点的话就有
反过来, 如果我们给定了 \(\mathbb P^1(K)\) 上有限个点规定它们的非零阶数 \(n_i\), 我们也能直接根据 \(\prod_i (X - x_i)^{n_i}\) 构造出一个有理函数满足这些条件. 而且自由度只有乘以一个非零常数的余地.
现在考虑 \(K\) 上的一条不可约的, 光滑的, 射影曲线 \(C\), 将其上的函数域 \(K(C)\) (也即 \(K[X,Y]/I(C)\) 的分式域) 当做有理函数的地位, 我们仍然希望讨论有理函数与它在曲线上的点的阶数的对应关系.
这个时候对于对应关系的限制的具体写法其实就是所谓的除子 (divisor): \(\operatorname{Div}(C)\) 就是一个形式和 \(D = \sum_P n_P [P]\), 其中 \(n_P\in \mathbb Z\), 且只有有限个 \(P\) 来说非零. 也就是 \(C\) 的点集上的自由交换群.
记 \(\deg D = \sum_P n_P\), 第一件可以证明的事情是如果一个除子可以实现为某个函数 \(f\) 的阶数 \(D = \operatorname{Div}(f) = \sum_P \operatorname{ord}_P(f) [P]\), 那么一定有 \(\deg D = 0\).
遗憾的是, 这并不是充要条件. 我们还需要外加一个条件. 可以证明如下事实:
定理. 对于椭圆曲线 \(E\) 上的有理函数 \(f\), 满足
\(\deg \operatorname{Div}(f) = 0\), 且\[\operatorname{sum} \operatorname{Div}(f) = \sum_P n_P P = \infty, \]其中加法按照 \(E\) 被赋予的以无穷元点为单位元的加法群结构理解.
相反地, 如果 \(D\) 满足 \(\deg D = 0\) 且 \(\operatorname{sum} D = \infty\), 那么存在 \(f\) 使得 \(D = \operatorname{Div}(f)\), 且解空间由 \(\{cf : c\neq 0\}\) 构成.
这是我们接下来需要用到的对于有理函数的基本刻画.
挠点
记 \(E[n]\) 为椭圆曲线 \(E(K)\) 上的 \(n\) 阶挠点 (torsion point) (\(nP = \infty\)), 可以证明, \(P \mapsto nP\) 这个变换可以写成一个次数为 \(n^2\) 的有理函数, 称为可除多项式 (division polynomial). 进一步地, 可以证明当 \(\ch K \nmid n\) 的时候, 有 \(\#E[n] = n^2\). (这里还是有点非平凡的, 需要讨论可除多项式的可分性, 对域扩张做一定的讨论, 但是我们先略过.)
那么当 \(n\) 是不同于 \(\ch K\) 的素数 \(p\) 的时候, 我们有 \(\# E[p] = p^2\), 由于 \(E[p]\) 是个交换群, 每个元素的阶又最多是 \(p\), 根据有限交换群结构定理, 一定有 \(E[p] \cong (\mathbb Z/p \mathbb Z)^2\).
进一步地, 可以根据有限交换群的结构得到, 当 \(\ch K \nmid n\), 有 \(E[n] \cong (\mathbb Z/n \mathbb Z)^2\).
Weil 配对
Weil 配对 (Weil pairing) 是一个相当有趣的结构, 它首先是一个双线性型 \(e\colon E[n] \times E[n] \to \mu_n\), 其中 \(\mu_n\) 是 \(K\) 里的 \(n\) 次单位根. 其次他还满足一系列性质.
现在考虑满足 \(\ch K \nmid n\) 的 \(n\), 取 \(T\in E[n]\), 根据前述充要条件, 存在有理函数 \(f\) 满足其除子为 \(\operatorname{Div}(f) = n[T] - n[\infty]\).
根据挠点的结构定理, 我们可以继续选出 \(n\) 个 \(nT' = T\), 考虑除子
它可以任取一个固定的 \(T'\) 之后写作
因此显然满足 Div 和 sum 是零, 设为某个有理函数 \(g\) 的除子.
考虑有理函数 \(f\circ n\), 也即 \((f\circ n)(P) = f(nP)\), 那么 \(f\) 在一个位置的重数就对应于 \(f\circ n\) 的 \(n\) 重数 (这里也有一点 gap, 严格说明这一点也需要一定的功夫), 所以
注意 \(n\operatorname{Div}(g) = \operatorname{Div}(g^n)\), 我们因此可以将 \(f\) 乘以适当的倍数, 不妨设 \(g(P)^n = f(nP)\).
现在考虑取 \(S\in E[n]\), 就有 \(g(S+P)^n = f(n(S+P)) = f(nP) = g(P)^n\), 那么 \((g(S+P)/g(P))^n = 1\) 具有平凡除子, 说明 \(g(S+P)/g(P)\) 也只是个常函数, 而且 \(g(S+P)/g(P) \in \mu_n\).
注意我们的选取过程中可能的 \(g\) 会差一个常数项, 但是 \(g(S+P)/g(P)\) 又把这个常数抵消了, 所以最后的得数无关于 \(g\) 的选取, 我们将其定义为 \(e(S, T)\) 的值.
接下来我们证明这个 \(e(\cdot, \cdot)\) 的基本性质.
首先是关于 \(S\) 线性, 也即 \(e(S_1+S_2, T) = e(S_1,T) e(S_2, T)\).
证明. $$\frac{g(S_1+S_2+P)}{g(P)} = \frac{g(S_1+S_2+P)}{g(S_1+P)} \cdot \frac{g(S_1+P)}{g(P)} = e(S_2,T) e(S_1, T). \square $$
其次是关于 \(T\) 线性, 也即 \(e(S, T_1 + T_2) = e(S,T_1) e(S, T_2)\).
证明. 对于 \(T_1 + T_2 = T_3\), 设对应的构造出来的函数 \(f\) 分别为 \(f_1,f_2,f_3\), 那么
记 \(h\) 是满足 \(\operatorname{Div}(h)=[T_1]+[T_2]-[T_3] - [\infty]\) 的一个函数, 那么有 \(f_1f_2=f_3 \cdot h^n\), 进而 \(g_1g_2 = \zeta g_3 \cdot (h\circ n)\), 进而带入 \(e(S, T)\) 的定义可以得到 \(e(S,T_3) = e(S,T_1) e(S, T_2)\). \(\square\)
第三个性质是反对称性, 即 \(e(T, T)=1\).
证明. 从 \(\operatorname{Div}(f) = n([T]-[\infty])\) 出发, 考虑 \((f\circ \tau_{jT})\colon P \mapsto f(P+jT)\) 这个函数, 它的除子对应的是反向的位移, 也就是 \(n([(1-j)T] - [-jT])\), 所以
可知 \(\prod_{j=0}^{n-1} f\circ \tau_{jT}\) 是常函数. 设 \(nT'=T\), 提出来一个除 \(n\) 之后就得到了 $$\prod_{j=0}^{n-1} f\circ \tau_{jT'}\circ n = \prod_{j=0}^{n-1} (g\circ \tau_{jT'})^n$$
是常数, 进而 \(G=\prod_{j=0}^{n-1} g\circ \tau_{jT'}\) 是常数. 然而 \(g(P+T)/g(P) = G(P+T')/G(P) = 1\), 所以 \(e(T,T)=1\). \(\square\)
第四个性质是非退化性, 如果 \(e(S,T)=1\) 对所有 \(S\) 都成立, 那么 \(T=\infty\). 对另一个变量也类似. 这个性质的证明我们略去. 但注意它的一个直接推论是: 对于 \(T_1, T_2\) 作为 \(E[n]\cong (\mathbb Z/n\mathbb Z)^2\) 的一组基, 有 \(e(T_1, T_2)\) 是本原单位根, 否则可以根据双线性找到一行全是平凡的.
前四条都没有真正的显示出这个存在性和 \(E\) 本身的性质的关系, 所以还有接下来重要的第五条:
第五个性质对于到自身的一个有理函数 \(\alpha\), 且是 \(E\) 自身加法群的一个自同态, 那么 \(\alpha\) 会将 \(E[n]\) 也映到自身, 此时有 \(e(\alpha(S), \alpha(T)) = e(S,T)^{\deg \alpha}\).
Hasse 界
当 \(\ch K \nmid n\) 的时候, 结构定理告诉我们 \(E[n]\cong (\mathbb Z/n\mathbb Z)^2\), 我们不妨设 \(T_1, T_2\) 为它的一组基. 那么 \(\alpha|_{E[n]}\) 就可以写成一个 \(\mathbb Z/n\mathbb Z\) 上的一个 \(2\times 2\) 矩阵.
定理. \(\det(\alpha|_{E[n]}) \equiv \deg(\alpha) \pmod n\).
证明. 记 \(e_n\) 为 \(E[n]\) 给出的 Weil 配对, 根据 Weil 配对的性质, 设 \(\zeta = e_n(T_1,T_2)\), 那么 \(\zeta^{\deg \alpha} = e_n(\alpha(T_1), \alpha(T_2))\), 根据反对称性和双线性, 这就等于 \(\zeta^{\det(\alpha|_{E[n]})}\), 由于 \(\zeta\) 是个本原单位根, 这给出同余等式. \(\square\)
根据这一点, 可以证明
推论. 对于保持 \(E\) 加法群的有理自同态 \(\alpha, \beta\), 有 \(\deg(a\alpha + b\beta) = a^2 \deg \alpha + b^2 \deg \beta + ab(\det(\alpha + \beta) - \deg \alpha - \deg \beta)\).
证明. 根据前面的同余等式, 可以将 \(\deg (a\alpha + b\beta)\) 的计算转为两个矩阵线性组合的行列式, 证明该同余恒等式之后, 由于对充分大的 \(n\) 取模成立, 就可过渡到 \(\mathbb Z\) 上的等式. \(\square\)
最后, 让我们考虑一个非常具体的自同构: Frobenius 自同构 \(\phi_q\colon (x, y) \mapsto (x^q, y^q)\). 容易验证它确实是保持 \(E\) 加法群的有理自同态, 而且它可以帮助区分出 \(\overline{\mathbb F_q}\) 里的 \(\mathbb F_q\).
现在取 \(\alpha = \phi_q\) 和 \(\beta = -1\), 我们有 \(\deg(\phi_q) = 1, \deg(-1) = 1\).
由于 \(\phi_q-1\) 满足可分性条件 (这里也有一点 gap, 严格说明这一点也需要一定的功夫), 有 \(\deg(\phi_q - 1)\) 等于被它映到零的点数, 也就是 \(\# E(\mathbb F_q)\).
Hasse 界.
记 \(a = q + 1 - \# E(\mathbb F_q)\), 那么 \(|a| \leq 2\sqrt q\).
证明. 我们考虑 \(\deg(r\phi_q - s)\), 带入前述的展开式和计算结果, 有
它应该 \(\geq 0\), 所以有
由于 \(s/r\) 可以逼近任意实数, 我们有 \(T^2 - aT + q \geq 0\) 恒成立, 说明 \(a^2 - 4q \leq 0\), 也即 \(|a| \leq 2\sqrt {q}\). \(\square\)
