Wronskian

Wroński 行列式

对于 $n$ 个多项式 $f_{1} (x), \dots, f_{n} (x)$ , 定义其 Wroński 行列式为

W (f_{1}, \dots, f_{n}) = det (\begin{matrix} f_{1} & \dots & f_{n} \\ f_{1}^{'} & \dots & f_{n}^{'} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ f_{1}^{(n - 1)} & \dots & f_{n}^{(n - 1)} \end{matrix}) .

定理. 在特征 0 的情况下, 多项式 $f_{1}, \dots, f_{n}$ 线性无关当且仅当 $W (f_{1}, \dots, f_{n}) \neq 0$ .

特殊情况

考虑这么一种最为简单的情况: 各 $f_{i}$ 都是单项式 $f_{i} (x) = x^{d_{i}}$ . 此时 Wroński 行列式为

\begin{aligned} det ((x^{d_{i}})^{(j)}) & = det (x^{d_{i} - j} d_{i} \dots (d_{i} - j + 1)) \\ = x^{(\sum d_{i}) - (\binom{n}{2})} det (d_{i}^{j}) \\ = x^{(\sum d_{i}) - (\binom{n}{2})} V (d_{1}, \dots, d_{n}) . \end{aligned}

其中 $j$ 从 $0$ 取到 $n - 1$ . 第二行是因为可以对多项式进行消元.
其中 $V (d_{1}, \dots, d_{n})$ 是 Vandermonde 行列式. 我们知道, $V \neq 0$ 当且仅当 $d_{i}$ 两两不同.

一般情况

注意 Wroński 行列式关于 $f_{i}$ 之间可以做可逆 $K$ -线性变换. 所以如果 $f_{i}$ 线性相关, 显然 $W = 0$ .

否则, 不妨将 $f_{i}$ 进行 Gauss 消元, 得到 $f_{i} = c_{i} x^{d_{i}} + O (x^{d_{i} - 1})$ , 其中 $d_{i}$ 互不相同.

考虑最高次项, 我们会有

W (f_{1}, \dots, f_{n}) = V (d_{1}, \dots, d_{n}) \cdot (\prod c_{i}) x^{(\sum d_{i}) - n (n - 1) / 2} (1 + O (x^{- 1})) .

所以 $W \neq 0$ . $◻$

折叠 Wroński 行列式

对于 $n$ 个多项式 $f_{1} (x), \dots, f_{n} (x)$ , 次数不超过 $k$ . 固定 $γ \neq 0$ , 且对于 $0 < i < k$ 皆有 $γ^{i} \neq 1$ . 定义其折叠 Wroński 行列式 (folded Wronskian) 为

W_{γ} (f_{1}, \dots, f_{n}) = det (\begin{matrix} f_{1} (x) & \dots & f_{n} (x) \\ f_{1} (γ x) & \dots & f_{n} (γ x) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ f_{1} (γ^{n - 1} x) & \dots & f_{n} (γ^{n - 1} x) \end{matrix}) .

定理. 多项式 $f_{1}, \dots, f_{n}$ 线性无关当且仅当 $W_{γ} (f_{1}, \dots, f_{n}) \neq 0$ .

证明. 首先考虑各 $f_{i}$ 都是单项式 $f_{i} (x) = x^{d_{i}}$ 的情况. 此时折叠 Wroński 行列式为

\begin{aligned} det ((γ^{j} x)^{d_{i}}) & = det (x^{d_{i}} γ^{d_{i} j}) \\ = x^{\sum d_{i}} V (γ^{d_{1}}, \dots, γ^{d_{n}}) . \end{aligned}

由于 $γ^{d_{i}}$ 互不相同, 所以 $V \neq 0$ .

一般情况, 同样可以考虑消元之后的最高此项. $◻$

posted @ 2025-02-26 11:59 EntropyIncreaser 阅读(82) 评论(0) 编辑收藏举报

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