无 (斜) 角集合

其实大部分内容是陈旧的, 比较新的那部分要从昨天见到了 Kevin Pratt 说起. (闲话: 看个人主页一表人才, 但是见面发现已经剪短发了, 差点意思...)

禁等差数列

我们称一个交换群 \(G\) 上的集合 \(S \subseteq G\) 是无等差数列的, 即 \(S\) 中 \(x+z=2y\) 的解只有 \(x=y=z\). 一个基本的问题是, 确定 \(\mathbb Z_n\) 上这样的集合的最大可能大小, 记为 \(r_3(\mathbb Z_n)\), 注意到在 \([N/2]\) 的子集里无等差数列的集合自然也在 \(\mathbb Z_n\) 上无等差数列, 如果只想确定阶的话, 考虑 \(r_3([N])\) 是等价的.

这个问题目前本质最好的构造是由 Behrend 给出的. 考虑一个 \(d\) 维格子 \([m]^d\), 每个点 \(x \in [m]^d\) 满足 \(\| x \|_2^2 \in [m^2 d]\), 根据鸽笼原理, 存在 \(r\) 使得 \(\| x\| = r\) 的点有 \(\geq m^d / (m^2 d)\) 个. 显然, 这样任何两个点的中间点到原点的距离更小, 因此这个集合是无等差数列的 (严格证明只需用一下 Cauchy--Schwarz 不等式).

接下来我们需要把这个集合嵌入到 \([N]\) 里, 这里我们其实需要承受一定的膨胀. 把 \((x_i)\) 映射到 \(\sum x_i (2m)^i\), 可以验证这样不会产生新的等差数列, 我们需要 \(N \geq (2m)^d\).

这样一来, 我们就有了 \(r_3([N]) \geq N / (2^d \cdot m^2 d)\), 当 \(d = \Theta(\sqrt{\log N})\) 的时候, 达到这个构造的最好结果, 也就是 \(r_3([N]) = \Omega(N c^{-\sqrt{\log N}})\).

这个构造真的是本质最好的吗? 我之前试图用高维卷积的 trick 来改进, 但是似乎并没有什么效果. 首先证明 \(r_3([N]) =o(N)\) 就是一个很难的问题.

• 对于上界, 第一个结果是 Roth 定理, 引入 Fourier 分析, 最终证明了 \(r_3([N]) = O(N/\log \log N)\).
• 经过一连串的改进, Bloom 和 Sisak 证明了 \(r_3([N]) = O(N/(\log N)^{1+c})\), 其中 \(c>0\) 是一个小常数.
• 2023 年年初, Kelley 和 Meka 证明了 \(r_3([N]) = O(N c^{-(\log N)^{\beta}})\), 他们给出的 \(\beta\) 是 \(1/11\), 后来 Bloom 和 Sisak 又改进到了 \(\beta = 1/9\), 至此, 人类算是确定了 \(r_3([N])\) 大概应该长什么样子.

此外, \(r_3([N]) = N^{1-o(1)}\) 这个性质也在目前矩阵乘法的上界中扮演了重要的角色.

无角集合

一个集合 \(S \subseteq [N]^2\) 被称作是 无角 (corner free) 的, 如果

\[(x,y), (x+\delta,y), (x,y+\delta) \in S \implies \delta = 0. \]

看起来无角集合很难构造啊... 但实际上, 有一个非常简单的构造方法, 考虑 \(T\) 是一个无等差数列集合, 那么 \(S= \{(x, y): x-y\in T \}\), 这样就有

\[\begin{align*} &\quad (x,y), (x+\delta,y), (x,y+\delta) \in S\\ &\iff x-y, x+\delta-y, x-y-\delta \in T\\ &\implies \delta = 0. \end{align*} \]

这样一来, 我们就有 \(|S| \geq \Omega(N^2 c^{-\sqrt{\log N}})\) 的构造了.

无斜角集合

Kevin Pratt 去年提出了一个进一步的问题, 一个集合 \(S \subseteq [N]^2\) 被称作是 无斜角 (skew corner free) 的, 如果

\[(x,y), (x,y+\delta), (x + \delta, {\color{red}{y'}}) \in S \implies \delta = 0. \]

也就是说, \((x, y)\) 和 \((x, y+\delta)\) 这两个点如果都在集合里, 那么所有 \(x+\delta\) 位置的点都不能在集合里! 这个问题看起来更难了, Kevin 当时只知道有 \(\Omega(n\log n /\sqrt{\log \log n})\) 的构造, 所以他大胆提出了猜测:

无斜角集合的最大可能大小是 \(N^{1+o(1)}\).

基于和这个假设, 他证明了一些群论思路的构造不可能得到 \(\omega=2\).

然而, 令人流汗的是, 今年 3 月 1 号, Adrian Beker 完全证伪了这个猜测, 依然是一个 Behrend 型的构造...

还是考虑高维点集 \(([m]^d)^2\), 我们考虑固定 \(r,t\) 之后, 所有的

\[S_{r, t} = \{ (x, y) : \|x \|^2 = r, \langle x, y\rangle = t. \} \]

如果 \((x, y)\) 满足条件, \((x, y + \delta)\) 也满足条件, 说明 \(\langle x, \delta \rangle = 0\). 那么 \(\|x + \delta \|^2 = \|x\|^2 + \|\delta\|^2 > r\), 说明 \((x+\delta, y')\) 不可能在集合里, 这说明任何 \(S_{r, t}\) 都是无斜角的.

根据鸽笼原理, 有一个 \(|S_{r, t}| \geq m^{2d} / (m^2 d)^2\). 我们还是取 \(N \geq (2m)^{d}\), 可以用类似的坐标拍扁方法把这个集合嵌入到 \([N]^2\) 里, 从而得到了 \(|S| \geq N^2 / (2^d m^2 d)^2\), 依然取 \(d = \Theta(\sqrt{\log N})\), 就得到了 \(|S| = \Omega(N^2 c^{-\sqrt{\log N}})\).

一刻也没有为证否矩阵乘法的猜想的猜想而哀悼, 立刻赶到现场的是 Jaber, Lovett 和 Ostuni, 证明了 这样的构造依然是本质最好的, 具体来说, 无斜角集合的最大可能大小有上界 \(N^2 c^{-(\log N)^{1/12}}\), 据他们说, 其思路依然是基于 Kelley--Meka 以及 Bloom--Sisak 处理 \(r_3([N])\) 的办法...