有限几何与 Sidon 集的构造

Sidon 集最开始问的是这样一个问题: 对于一个子集 \(S \subset [n]\), 且满足 \(S = \{d_1,\dots,d_m\}\) 满足 \(d_i + d_j\) 互不相同, 那么 \(m\) 最大是多少?

我们也可以问这个问题在有限群上的版本, 比如一个有限 Abel 群 \(G\), 问 \(S\subset G\) 其 \(d_i + d_j\) 互不相同, 那么 \(S\) 可以有多大. 注意当 \(|G|\) 是奇数的时候, \(d_i - d_j \neq d_j - d_i\), 这个时候 \(\{d_i - d_j : i\neq j\}\) 是互不相同的, 根据鸽笼原理可以得到 \(|G| -1\geq m(m-1)\). 容易发现这也是等价条件.

对于原先的在 \([n]\) 上问的问题, 也是可以类似证明出 \(O(\sqrt n)\) 的上界的, 进一步地, 这个上界被精细到了 \(\sqrt n + O(n^{1/4})\). 甚至 Erdős 相信它是 \(\sqrt n + n^{o(1)}\) 的, 但是这个还 open.

但是对于一类循环群而言, Singer 几乎解决了这个问题, 具体来说, 他证明了:

(定理). 对于素数的幂 \(q\), 对于 \(G=\mathbb Z_{q^2+q+1}\), 存在 \(m = q+1\) 的 Sidon 集.

注意这是达到了前面的不等式下界的, 也就是每个非零的数刚好都是某对 \(d_i - d_j\).

注意这也给出了 \([n]\) 的大小为 \((1-o(1))\sqrt n\) 的 Sidon 集.

有限几何

我们考虑一个抽象的射影平面: 有一些点 \(V\) 和一些直线 \(L\) (每条直线都是 \(V\) 的一个子集), 满足每两个点唯一确定一条直线, 每两条直线唯一确定一个点.

容易通过数两遍证明, 这样的有限几何对象存在一个数 \(q\), 使得 \(|V| = |L| = q^2 + q + 1\), 且每条直线上的点数为 \(q+1\), 每个点在 \(q+1\) 条直线上.

现在我们假设 \(V\) 上有一个神奇的自同构 \(\sigma\), 这个自同构刚好是一个大小为 \(q^2+q+1\) 的环, 并且它诱导出一个 \(L\) 上的自同构: 这是说对于直线 \(\ell\), 考虑 \(\sigma(\ell)\) 是把它的点集都按照 \(\sigma\) 映射一遍, 这样得到的还是一个直线. 称这个自同构为一个 collineation.

现在我们就不妨将顶点排列成 \(\bmod q^2+q+1\) 的数, 那么 \(\sigma\) 就把每个点 \(v\) 打到 \(v+1\).

那么假设第一条直线为 \(\ell_0 = \{ v_0,\dots, v_q \}\), 那么我们可以按顺序写出第 \(i\) 条直线

\[\{ v_0 + i ,\dots, v_q + i \pmod{q^2+q+1} \}. \]

由于 \(q^2+q+1\) 和 \(q+1\) 互素, 可以知道这样写出的 \(\ell_i\) 从 \(i=0\sim q^2+q\) 是枚举了所有平面上的直线的, 所以 \(\sigma\) 也对 \(L\) 是一个环长为 \(q^2+q+1\) 的置换.

现在我们声明: \(\ell_0\) 本身就给出了一个 Sidon 集. 假设这一点不成立, 那么存在 \(v_i - v_j = v_{i'} - v_{j'}\). 那么取 \(\delta = v_{i'} - v_i\), 可以知道 \((v_i, v_j) + \delta = (v_{i'}, v_{j'})\), 说明 \(v_{i'}, v_{j'}\) 在直线 \(\ell_\delta\) 里, 但它们同时也都在 \(\ell_0\) 里, 和有限几何的公理矛盾.

综上, 存在 collineation 的时候, 这个编号给出的 \(\ell_0\) 必然是一个 Sidon 集.

构造

首先我们需要真的构造出一个射影平面, 然后再上面具体地构造出一个 collineation.

当 \(q\) 是素数的幂, 我们直接选取 \(\mathbb F_q\) 这个有限域, 然后考虑射影平面 \(\mathbb P^2 (\mathbb F_q)\): 所有 \(\mathbb F_q^3\) 的一维子空间是点, 二维子空间是直线. 这样的射影平面的点数和直线数都是 \((q^3-1)/(q-1) = q^2 + q + 1\), 每个点在 \(q+1\) 条直线上, 每条直线上有 \(q+1\) 个点.

如何构造这个 collineation 呢? 我们考虑将 \(\mathbb F_q^3\) 识别为有限域 \(\mathbb F_{q^3}\), 我们知道有限域的乘法是循环群, 不妨设由 \(\alpha\) 生成.

首先 \(v \mapsto \alpha v\) 确实把一个点映到一个点, 我们要证明它环长是 \(q^2+q+1\). 这是因为

\[v \sim \alpha^i v \iff \frac{\alpha^i v}{v} \in \mathbb F_q \iff \alpha^{i \cdot (q-1)} = 1 \iff q^2+q+1 \mid i. \]

然后因为因为乘法是线性的, 这个映射把直线映到直线是显然的, 所以这是一个 collineation.

综上, 对于 \(q\) 是奇素数, 我们可以按照上述手法构造一个 \(\mathbb Z_{q^2+q+1}\) 的 Sidon 集.

参考

James Singer, A Theorem in Finite Projective Geometry and Some Applications to Number Theory.