脑力体操: 半在线卷积能做到多好? (van der Hoeven, 2007)
固定一个可以
Folklore
把序列拆成两个
能不能再给力一点啊?
把序列拆成
注意到每块可以直接做 DFT 和 IDFT, 对之后每块的贡献不需要分别算了, 因此时间是
能不能再给力一点啊?
注意到上面的 "块之间的贡献" 也是一个半在线卷积, 时间可以是
取
能不能再给力一点啊? [vDH07]
我们的目标是什么? 答: 上面的递归式每次将
将
注意, 现在
容易归纳发现第
由于
最优取到
根据换底公式, 这也就是 [vDH07] 所写的
[vDH07] Joris van der Hoeven, 2007. New algorithms for relaxed multiplication.
能不能再给力一点啊? (upd: 2023.8.12)
如果递归树的叶子数和你根位置的时间复杂度长得不一样, 说明还有平衡的可能.
我们试图将 Hoeven 的分治改成更平衡的形式, 取
如果
好像 Hoeven 在 2014 年的时候在 审稿人的提示 下发现这件事了, 散了散了...
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