有向无权图删边最短路 (Roditty, Zwick, 2005)

给定一有向无权图 $G$ 和起点终点 $s,t$, 对每条边 $e$, 计算 $G\setminus \{e\}$ 中 $s$ 到 $t$ 的最短路.

(注意: 无向图上的那个经典算法在有向图上是错误的.)

我们先求出一条 $s$ 到 $t$ 的最短路, 显然, 我们只需要考察这条路径上每条边被删去的时候的最短路.

对于删去一条边的路径, 考虑将新的最短路和原来的最短路进行比较, 显然我们只需要"离开"原来的最短路一次, 而且形如: 记原来的最短路为 $p_1,\dots ,p_k$, 那么新的最短路在 $p_i$ 处离开, 在 $p_j$ 处重新回来, 且 $i<j$.

考虑设置阈值 $L$, 当 $p_i$ 到 $p_j$ 的这条外部路径的长度超过或不超过 $L$ 的时候, 我们分开处理.

短

注意到从 $p_i$ 到 $p_j$ 的一条外部路径长度一定不小于 $j-i$, 我们可以一次性处理所有 $imod(L+1)$ 为同一个值作为起点的 $i$. 从它们开始做多源 最短路的 BFS, 可以在 $O(m)$ 的时间内得到到每个点的对应的外部路径长度. 如果长度 $>L$ 说明实际上到它最近的 $i$ 没法走到它. 然后可以在 $O(n)$ 时间内更新每条边的答案.

这部分复杂度 $O(mL)$.

长

随机选一个点, 考虑用经过它的外部路径来更新答案. 只需要做正反图上的 BFS 以及前缀后缀 min 就能 $O(m)$ 更新.

由于我们考虑的都是 $>L$ 的路径, 所以每条路径有 $\ge L/n$ 的概率命中. 随机 $n/L$ 次, 就只有 $(1-L/n{)}^{n/L}\le 1/e$ 的概率失败. 因此, 总共随机 $k\ln n\cdot n/L$ 次, union bound 就保证了有 $\ge 1-\frac{1}{n^{k-1}}$ 的概率成功计算出所有答案.

因此, 这部分的代价是 $O(mn/L\cdot \log n)$.

清算

综上, 我们在 $O\left(m\sqrt{n\log n}\right)$ 的时间内解决.