恒等式日记 2022.3.1
其实是昨天计应数课上的一个东西引出的, 总之, 我们要证明
\[\sum_r \frac 1{n-r} \binom r k = \binom n k (H_n - H_k).
\]
首先我们需要证明一个 Lemma:
\[\sum_r \frac{(-1)^{r-1}}r \binom n r = H_n
\]
其实很简单:
\[\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}
\begin{align*}
&= \sum_r \binom n r \int_{-1}^{0} t^{r-1} \dif t\\
&= \int_{-1}^{0} \frac{(1+t)^n-1}t\dif t\\
&= \int_0^1 \frac{t^n-1}{t-1} \dif t\\
&= \int_0^1 (1 + t + \cdots + t^{n-1}) \dif t\\
& = H_n
\end{align*}
\]
然后让我们来看看原式. 首先其可以看做下式的 \(y^k\) 次项系数:
\[\begin{align*}
&\quad \int_0^1 \sum_r (1+y)^r t^{n-r-1} \dif t\\
&= \int_0^1 \frac{(1+y)^n-t^n}{1+y-t} \dif (t-y-1)\\
&= \int_{-y-1}^{-y} \frac{(1+y)^n-(t+y+1)^n}{-t} \dif t\\
&= \int_{-y-1}^{-y} \sum_r \binom n r (1+y)^{n-r} t^{r-1} \dif t\\
&= \sum_r \frac{(-1)^{r-1}}{r} \binom n r \left[ (1+y)^n - (1+y)^{n-r}y^r \right]\\
&= (1+y)^n H_n - \sum_r \frac{(-1)^{r-1}}{r} \binom n r (1+y)^{n-r}y^r
\end{align*}
\]
其第 \(y^k\) 次项是
\[\begin{align*}
&\quad \binom n k H_n - \sum_r \frac{(-1)^{r-1}}{r} \binom n r \binom{n-r}k\\
&= \binom n k H_n - \sum_r \frac{(-1)^{r-1}}{r} \binom k r \binom n k\\
&= \binom n k (H_n - H_k).
\end{align*}
\]
