DP动态规划学习笔记

理解：

　　　求当前状态的解，应该由子状态的解来得出，即：先必须求出子状态的解。一次往前递推，一般可由最最小的子问题（最易分析出结果，不可再分）逐层求出。

　　　举个例子。

　　　15=14+1；　　

　　　14=13+1；

　　   13=12+1；

　　　　　......

　　　2=1+1;

　　　　橙色的1期为之前提到的最最小的子问题。

　　　　分析：要求出15，可以分解成14+1；要求出14，可以分解成求出13，再加上1.

　　　　　　　所以说先从最简单的2开始求。

一维DP问题:

　　　　最长非降子序列。

　　a[0]　　a[1]　　a[2]　　a[3]　　a[4]　　a[5]　　a[6]

　　5　　　 3　　　  4　　 　8　　　  7　　　 9　　　　3　

　　d[i]表示以a[i]为结尾的最长非降子序列的长度。

　　d[0]  = 1  序列：5

　　d[1]  = 1  序列：3　　　　因为5>3

　　d[2]  = 2  序列：3 4

　　d[3]  = 3  序列：3 4 8

　　........

　　不难得出，d[i]等于1（此时，a[i]的值比它前面任何一个数都小，所以只能a[i]它自己构成一个非降子序列）

　　　　　　　　　　  或者是 max{  d[j]+1 } j的取值为：所有满足a[j]<=a[i]的j.     例：d[4]=max{ d[0]+1 ,d[1]+1 ,d[2]+1 }

　　代码：

//DP动态规划 最长非降子序列
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int a[100];
    int n;
    cin>>n;
    int i;
    for(i=0;i<n;i++)
        cin>>a[i];
    int d[n];
    d[0]=1;
    int j;
    for(i=1;i<n;i++)
    {
        d[i]=1;
        for(j=i-1;j>=0;j--)
        {
            if(a[j]<=a[i])
            {
                if(d[j]+1>d[i]) d[i]=d[j]+1;
            }
        }
        cout<<i<<" "<<d[i]<<endl;
    }
    return 0;
} 

二维DP问题：

　　　　　　平面上有m*n个格子，每个格子中放着一定数量的苹果。你从左上角的格子开始，每一步只能是向下走或是向右走，每次走到一个格子上就把格子里的苹果收集起来，这样下去最多能收集到多少个苹果。

 

//DP 苹果问题
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int a[100][100];
    int m,n,max;
    cin>>m>>n;
    int i,j,k;
    for(i=0;i<m;i++)
    {
        for(j=0;j<n;j++)
            cin>>a[i][j];
    }
    int s[m][n]={0,0,0};
    for(i=0;i<m;i++)
    {
        for(j=0;j<n;j++)
        {
            
            if(i==0&&j==0) max=0;
            else if(i>0&&j==0) max=s[i-1][j];
            else if(i==0&&j>0) max=s[i][j-1];
            else if(s[i-1][j]>s[i][j-1]) max=s[i-1][j];
            else max=s[i][j-1];
            s[i][j]=max+a[i][j];
        }
    }
    for(i=0;i<m;i++)
    {
        for(j=0;j<n;j++)
        {
            if(j==0) cout<<s[i][j];
            else cout<<" "<<s[i][j];
        }
        cout<<endl;
    }
}