关于求合法括号子序列个数

合集 - 题解(*•ω•)(20)

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20.关于求合法括号子序列个数2024-09-09

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求合法括号子序列个数

发了近半天时间都没人发现里面的致命错误() 还好我悄咪咪改了

题意

背景

合法括号串的定义如下：

1. () 是合法括号串。
2. 如果 A 是合法括号串，则 (A) 是合法括号串。
3. 如果 A，B 是合法括号串，则 AB 是合法括号串。

子串与不同的子串的定义如下：

1. 字符串 S 的子串是 S 中连续的任意个字符组成的字符串。S 的子串可用起始位置 $l$ 与终止位置 $r$ 来表示，记为 $S(l,r)$（$1\le l\le r\le |S|$，$|S|$ 表示 S 的长度）。
2. S 的两个子串视作不同当且仅当它们在 S 中的位置不同，即 $l$ 不同或 $r$ 不同。

题目

给出一个括号串 $s$（其不一定是合法括号串），问 $s$ 中有多少个互不相同的子串是合法括号串。

样例

样例输入

(()()

样例输出

3

分析

观察序列1：

()()()

$pos=2$ 的时候，对答案的贡献值为 $1$ 。

$pos=4$ 的时候，本身 $[3,4]$ 就有一个满足要求的括号序列，再合并上前面的成为 $[1,4]$ ，于是对答案的贡献值就为 $2$ ，再加上前面 $[1,2]$ 本身有的括号序列，总共为 $3$。

$pos=6$ 时，总共的贡献值为 $3$ ，加上前面的有 $3+3=6$ 种。其他位置均没有贡献（左括号没有贡献值）。

总之，$pos$ 为 $1\sim 6$ 时对答案的贡献分别为 $0,1,0,2,0,3$ ，合并后的总答案为 $0,1,1,3,3,6$ 。

---

观察序列2：

())()

$pos=2$ 时，对答案贡献为 $1$ 。

$pos=3$ 时，由于不满足成匹配的括号序列，所以没有贡献（我们只看右括号的贡献值）。

$pos=5$ 时，由于 $pos=3$ 时多了一个后括号，所以 $[1,3]$ 不匹配，导致 $[1,5]$ 成不了一个匹配的括号序列，所以对答案的贡献仍为 $1$

$pos$ 为 $1\sim 5$ 时对答案的贡献分别为 $0,1,0,0,1$ ，合并后的总答案为 $0,1,1,1,2$ 。

---

观察序列3：

()(())

$pos=2$ 时，贡献为 $1$ 。

$pos=5$ 时，由于 $pos=3$ 是在中间断开，所以 $[1,5]$ 不能匹配，所以贡献仍为 $1$ 。

$pos=6$ 时，我们发现 $[1,2]$ 是匹配的。故 $[1,2],[3,6]$ 能合成一个匹配的序列，所以对答案贡献为 $2$ 。

$pos$ 为 $1\sim 6$ 时对答案的贡献分别为 $0,1,0,0,1,2$ ，合并后的总答案为 $0,1,1,1,2,4$ 。

---

可以发现，一个后括号如果能匹配一个前括号，假设这个前括号的前1位同样有一个已经匹配了的后括号，那么我们就可以把当前的匹配括号序列和之前的匹配括号序列合并。当前的这个后括号的贡献值，其实就等于前面那个后括号的贡献值 + 1。

Elaina's Code

int sum=0,tot[N];
string s;
stack<int> sta;
signed main(){
	cin>>s;
	for(int i=0;i<s.size();i++){
		if(s[i]=='(') sta.push(i);
		if(s[i]==')'){
			if(!sta.empty()){
				int l=sta.top();
				sta.pop();
				tot[i]=tot[l-1]+1;
			}
		}
		sum+=tot[i];
	}
	cout<<sum;
	return Elaina;
}