关于最短路、次短路计数

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最短路计数

题意

给出一个 $N$ 个顶点 $M$ 条边的无向无权图，顶点编号为 $1$ 到 $N$。

问从顶点 $1$ 开始，到其他每个点的最短路有几条。

分析

我们可以用 BFS 计算出源点 $1$ 到其他点的最短距离序列 $dis$，由于 BFS 弹出队列的顺序是拓扑序，因此在 BFS 的过程中，我们获得了所有顶点拓扑排序后的序列，相当于原图转化为一个 DAG。

因此，我们可以在这个序列上进行DP计数。

令 $f[u]$ 为源点到 $u$ 的最短路数目，遍历 $u$ 的邻接点 $v$，若 $dis[v]=dis[u]+1$, 说明存在有向边 $u\to v$，因此 $dp[v]=dp[v]+dp[u]$

Code

Elaina's Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define rd read()
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define mkp make_pair
#define psb push_back
#define Elaina 0
inline int read(){
	int f=1,x=0;
	char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) f=(ch=='-'?-1:1);
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
	return f*x;
}
const int p=1e9+7;
const int N=2e5+100;
const int inf=0x7fffffff7fffffff;

int n,m,dis[N],f[N];
bool vis[N];
vector<int> g[N];
vector<int> arr;

void bfs(int x){
	queue<int> q;
	q.push(x);
	arr.psb(x);
	dis[x]=0,vis[x]=1;
	int stp=0;
	while(!q.empty()){
		int sz=q.size();
		stp++;
		for(int i=0;i<sz;i++){
			int u=q.front();
			q.pop();
			for(auto v:g[u]){
				if(!vis[v]){
					vis[v]=1;
					dis[v]=stp;
					q.push(v);
					arr.psb(v);
				}
			}
		}
	}
}

signed main(){
	n=rd,m=rd;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x=rd,y=rd;
		g[x].psb(y),g[y].psb(x);
	}
	mst(vis,0);
	mst(dis,0x3f);
	
	bfs(1);
	f[1]=1;
	for(auto v:arr){
		for(auto u:g[v]){
			if(dis[v]==dis[u]+1){
				f[v]=f[u]+f[v];
				f[v]%=p;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		printf("%lld\n",f[i]);
	}
	return Elaina;
}

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次短路计数

题意

给出一个 $n$ 个顶点 $m$ 条边的无向无权图，顶点编号为 $1$ 到 $n$。给出源点 $s$, 终点 $t$, 求 $s$ 到 $t$ 的次短路总共有多少条。

分析

设 $u->v$ 是该无向图拓扑排序后形成的DAG的一条有向边，则 $s\mathrm{到}u$ 的次短路一定是 $s\mathrm{到}v$ 的次短路。很显然对吧

另外，对于无向图上 $v$ 的邻接点 $w$, 若 $dis[w]=dist[v]$, 则 $s\mathrm{到}w$ 的最短路一定是 $s\mathrm{到}v$ 的次短路，此时 $w$ 与 $v$ 有相同的拓扑序。

因此，此题仍然需要将原来的无向图经过 BFS 后转化为DAG，然后DP计数。

要计算次短路，我们需要二维DP。

设 $f1[u]$ 是 $s$ 到 $u$ 的最短路数目，$f2[u]$ 是 $s$ 到 $u$ 的次短路数目

$ifdis[u]=dis[v]:f2[v]=f2[v]+f1[u]$
$ifdis[u]+1=dis[v]:f1[v]=f1[v]+f1[u],f2[v]=f2[v]+f2[u]$

注意：必须先算完$f1$再算$f2$，因此弄了两次循环

Code

Elaina's Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define rd read()
#define mkp make_pair
#define psb push_back
#define Elaina 0
#define random(a,b) (1ll*rand()*rand()*rand()%((b)-(a)+1)+(a))
inline int read(){
	int f=1,x=0;
	char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) f=(ch=='-'?-1:1);
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
	return f*x;
}
const int p=1e9+7;
const int N=2e5+100;
const int inf=0x7fffffff7fffffff;

int n,m,s,t,dis[N],ans[N];
bool vis[N];
vector<int> g[N];
vector<int> arr;
int f1[N],f2[N];

void bfs(int x){
	queue<int> q;
	q.push(x);
	arr.psb(x);
	int stp=0;
	dis[x]=0,vis[x]=1;
	while(!q.empty()){
		int sz=q.size();
		stp++;
		for(int i=0;i<sz;i++){
			int u=q.front();
			q.pop();
			if(u==t) continue;
			for(auto v:g[u]){
				if(!vis[v]){
					vis[v]=1;
					q.push(v);
					dis[v]=stp;
					arr.psb(v);
				}
			}
		}
	}
}

signed main(){
	n=rd,m=rd;
	s=rd,t=rd;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x=rd,y=rd;
		g[x].psb(y);
		g[y].psb(x);
	}
	bfs(s);
	f1[s]=1;
	for(auto v:arr){
		int dv=dis[v];
		for(auto u:g[v]){
			int du=dis[u];
			if(dv==du+1) f1[v]=(f1[v]+f1[u])%p;
		}
	}
	for(auto v:arr){
		int dv=dis[v];
		for(auto u:g[v]){
			int du=dis[u];
			if(du==dv) f2[v]=(f2[v]+f1[u])%p;
			if(dv==du+1) f2[v]=(f2[v]+f2[u])%p;
		}
	}
	printf("%lld",f2[t]);
	return Elaina;	
}