苍与红的试炼(数位DP)
苍与红的试炼
这道题的题面注定了我这个指挥官要写一篇题解...
头图
$\Large \color{#68030a}重樱$
\(\Large \color{#68030a}天城\)
苍与红的试炼
问题描述
辉煌的时代终将落幕吗，只有时间的车轮滚滚向前。
来自苍空之上的，是点亮前路的希望，是划破阴云的曙光。
为协助天城追回那被铅色未来蒙蔽前路之人，你需要完成天城的试炼以取得天城的认可。
漫樱飞舞的古城中，有一些标有数字 \(0 \sim 9\) 的御守。现在天城给了你一个正整数 \(d(d \leq 500)\)，你需要按照某种顺序排列一些御守，写下由这些御守拼成的数字 \(x\) ，并保证 \(x\) 能被 \(d\) 整除。
然而想通过「重樱之鬼谋」的考验哪有这么简单。天城还指定了一个正整数 \(s(s \leq 5000)\) ，你必须保证你所选择的所有御守上的数字之和等于 \(s\) 才能满足要求。同时为了检验你的能力，天城要求你给出满足要求的最小的 \(x\) 。当然如果不存在满足要求的 \(x\) ，你也必须要向天城指出这一点。
跨越时间之长河，斩断命运之枷锁。挑战者啊，穷尽武略与智谋，迎接来自顶点的试炼吧。
输入格式:
输入数据仅有一行，包含两个正整数 \(d\) 和 \(s\) 。
输出格式:
如果存在满足要求的 \(x\) ，请输出你给出的最小的 \(x\) 。
如果不存在满足要求的 \(x\) ，请输出一个整数 \(-1\) 。
样例
样例输入1:
13 50
样例输出1:
699998
样例输入2:
61 2
样例输出2:
1000000000000000000000000000001
样例输入3:
15 50
样例输出3:
-1
分析
因为他是无上限的，用 DFS 肯定会爆栈Memory Limit Enough，因此换个思路。
考虑到由于是从小到大便利， BFS 的每次选择就是最优，因此食用 BFS。
看到样例二的数非常大，不可能傻乎乎的直接mod，想法优化：
考虑取模运算的性质
对于整数 \(a,b,c,d\)和自然数\(m\)，对 \(\mod m\) 有：
设
\[a \equiv b (mod m)
\]
则
\[a \times c \equiv b \times c (mod m)
\]
\[a + d \equiv b + d (mod m)
\]
那么对于本题，设 \(nmd\) 表示试填之后 \(mod d\) 的余数， \(md\) 表示之前的余数，\(i (0 \leq i \leq 9)\) 表示试填入的数字
因为我们试填的数是下一位，因此这里的 "\(c\)" 取 \(10\)
显然
\[nmd=(md \times 10 +i) mod d
\]
可以简单证明一下：
\[(100 \times a + 10 \times b + c)mod d = (((100 \times a) mod d + (10\times b)mod d+c)mod d=(10\times((10 \times a) mod d + b mod d)+c)mod d
\]
剩下的就是 BFS 板子
Elaina's Code
Elaina's Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rd read()
#define int long long
#define inf 0x3f
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define Elaina 0
inline int read(){
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
return x*f;
}
const int MAXD=510,MAXS=5010;
int d,s,dep,cnt;//dep记录BFS深度 cnt记录数字编号
int pre[MAXD*MAXS];
char ans[MAXD*MAXS];
bool vis[MAXS][MAXD];
struct Num{
int sum,mod;
};
queue<Num> q;
void print(int pos){//递归输出
if(pos==1) return ;
print(pre[pos]);
putchar(ans[pos]);
}
void bfs(){
q.push((Num){0,0});//初始状态
vis[0][0]=1;
cnt++;
while(!q.empty()){
int sm=q.front().sum,md=q.front().mod;
q.pop();
dep++;//dep是扩展的这一层的上一层
for(int i=0;i<=9;i++){
int nsm=sm+i,nmd=(md*10+i)%d;
if(nsm>s) break;//和如果大于S了那后面更大的数也寄
if(vis[nsm][nmd]) continue;
if(nsm==s&&!nmd){
pre[++cnt]=dep;//前驱的层数
ans[cnt]=i+'0';//记录这个深度符合条件的数字(答案)
print(cnt);//输出
return;
}
vis[nsm][nmd]=1;//标记
q.push((Num){nsm,nmd});
cnt++;
pre[cnt]=dep;//记录pre
ans[cnt]=i+'0';//记录ans
}
}
printf("-1");//无答案
return;
}
signed main(){
d=rd,s=rd;
bfs();
return Elaina;
}
勿点
/*
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*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rd read()
#define int long long
#define inf 0x3f
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define Elaina 0
inline int read(){
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
return x*f;
}
const int MAXD=510,MAXS=5010;
int d,s,head,tail;
int pre[MAXD*MAXS];
char ans[MAXD*MAXS];
bool vis[MAXS][MAXD];
struct Num{
int sum,mod;
};
queue<Num> q;
void print(int pos){
if(pos==1) return ;
print(pre[pos]);
putchar(ans[pos]);
}
void bfs(){
q.push((Num){0,0});
vis[0][0]=1;
tail++;
while(!q.empty()){
int sm=q.front().sum,md=q.front().mod;
q.pop();
head++;
for(int i=0;i<=9;i++){
int nsm=sm+i,nmd=(md*10+i)%d;
if(nsm>s) break;
if(vis[nsm][nmd]) continue;
if(nsm==s&&!nmd){
pre[++tail]=head;
ans[tail]=i+'0';
print(tail);
return;
}
vis[nsm][nmd]=1;
q.push((Num){nsm,nmd});
tail++;
pre[tail]=head;
ans[tail]=i+'0';
}
}
printf("-1");
return;
}
signed main(){
d=rd,s=rd;
bfs();
return Elaina;
}
/*
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尾图
