苍与红的试炼(数位DP)

合集 - 题解(*•ω•)(20)

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苍与红的试炼

这道题的题面注定了我这个指挥官要写一篇题解...

头图

$\mathrm{重}\mathrm{樱}$

$\mathrm{天}\mathrm{城}$

苍与红的试炼

问题描述

辉煌的时代终将落幕吗，只有时间的车轮滚滚向前。

来自苍空之上的，是点亮前路的希望，是划破阴云的曙光。

为协助天城追回那被铅色未来蒙蔽前路之人，你需要完成天城的试炼以取得天城的认可。

漫樱飞舞的古城中，有一些标有数字 $0\sim 9$ 的御守。现在天城给了你一个正整数 $d(d\le 500)$，你需要按照某种顺序排列一些御守，写下由这些御守拼成的数字 $x$ ，并保证 $x$ 能被 $d$ 整除。

然而想通过「重樱之鬼谋」的考验哪有这么简单。天城还指定了一个正整数 $s(s\le 5000)$ ，你必须保证你所选择的所有御守上的数字之和等于 $s$ 才能满足要求。同时为了检验你的能力，天城要求你给出满足要求的最小的 $x$ 。当然如果不存在满足要求的 $x$ ，你也必须要向天城指出这一点。

跨越时间之长河，斩断命运之枷锁。挑战者啊，穷尽武略与智谋，迎接来自顶点的试炼吧。

输入格式:

输入数据仅有一行，包含两个正整数 $d$ 和 $s$ 。

输出格式:

如果存在满足要求的 $x$ ，请输出你给出的最小的 $x$ 。

如果不存在满足要求的 $x$ ，请输出一个整数 $-1$ 。

样例

样例输入1:

13 50

样例输出1:

699998

样例输入2:

61 2

样例输出2:

1000000000000000000000000000001

样例输入3:

15 50

样例输出3:

-1

分析

因为他是无上限的，用 DFS 肯定会爆栈Memory Limit Enough，因此换个思路。

考虑到由于是从小到大便利， BFS 的每次选择就是最优，因此食用 BFS。

看到样例二的数非常大，不可能傻乎乎的直接mod，想法优化：

考虑取模运算的性质

对于整数 $a,b,c,d$和自然数$m$，对 $\mathrm{mod}m$ 有：

设

$$a\equiv b (mod m)$$

则

$$a\times c\equiv b\times c (mod m)$$

$$a+d\equiv b+d (mod m)$$

那么对于本题，设 $nmd$ 表示试填之后 $mod d$ 的余数， $md$ 表示之前的余数，$i(0\le i\le 9)$ 表示试填入的数字

因为我们试填的数是下一位，因此这里的 "$c$" 取 $10$

显然

$$nmd=(md\times 10+i) mod d$$

可以简单证明一下：

$$(100\times a+10\times b+c)mod d=(((100\times a)mod d+(10\times b)mod d+c)mod d=(10\times ((10\times a)mod d+b mod d)+c)mod d$$

剩下的就是 BFS 板子

Elaina's Code

Elaina's Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rd read()
#define int long long
#define inf 0x3f
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define Elaina 0
inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}

const int MAXD=510,MAXS=5010;
int d,s,dep,cnt;//dep记录BFS深度 cnt记录数字编号
int pre[MAXD*MAXS];
char ans[MAXD*MAXS];
bool vis[MAXS][MAXD];
struct Num{
	int sum,mod;
};
queue<Num> q;

void print(int pos){//递归输出
	if(pos==1) return ;
	print(pre[pos]);
	putchar(ans[pos]);
}

void bfs(){
	q.push((Num){0,0});//初始状态
	vis[0][0]=1;
	cnt++;

	while(!q.empty()){
		int sm=q.front().sum,md=q.front().mod;
		q.pop();
		dep++;//dep是扩展的这一层的上一层
		
		for(int i=0;i<=9;i++){
			int nsm=sm+i,nmd=(md*10+i)%d;
			if(nsm>s) break;//和如果大于S了那后面更大的数也寄
			if(vis[nsm][nmd]) continue;
			if(nsm==s&&!nmd){
				pre[++cnt]=dep;//前驱的层数
				ans[cnt]=i+'0';//记录这个深度符合条件的数字(答案)
				print(cnt);//输出
				return;				
			}
			vis[nsm][nmd]=1;//标记
        	q.push((Num){nsm,nmd}); 
        	cnt++;
        	pre[cnt]=dep;//记录pre
        	ans[cnt]=i+'0';//记录ans
		}
	}
	printf("-1");//无答案
	return;
}

signed main(){
	d=rd,s=rd;
	bfs();
	return Elaina;
}

勿点

/*
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*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rd read()
#define int long long
#define inf 0x3f
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define Elaina 0
inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}

const int MAXD=510,MAXS=5010;
int d,s,head,tail;
int pre[MAXD*MAXS];
char ans[MAXD*MAXS];
bool vis[MAXS][MAXD];
struct Num{
	int sum,mod;
};
queue<Num> q;

void print(int pos){
	if(pos==1) return ;
	print(pre[pos]);
	putchar(ans[pos]);
}

void bfs(){
	q.push((Num){0,0});
	vis[0][0]=1;
	tail++;
	
	while(!q.empty()){
		int sm=q.front().sum,md=q.front().mod;
		q.pop();
		head++;
		
		for(int i=0;i<=9;i++){
			int nsm=sm+i,nmd=(md*10+i)%d;
			if(nsm>s) break;
			if(vis[nsm][nmd]) continue;
			if(nsm==s&&!nmd){
				pre[++tail]=head;
				ans[tail]=i+'0';
				print(tail);
				return;				
			}
			vis[nsm][nmd]=1;
        	q.push((Num){nsm,nmd}); 
        	tail++;
        	pre[tail]=head;
        	ans[tail]=i+'0';
		}
	}
	printf("-1");
	return;
}

signed main(){
	d=rd,s=rd;
	bfs();
	return Elaina;
}
/*
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尾图