关于线性筛及其扩展

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关于线性筛及其扩展

xjb讲

顾名思义，是一种复杂度为线性的筛法
常用来求素数
不过她的扩展用法也是蛮多的
比如她可以用来求大多数积性函数 (当然，你要会，才能求)

积性函数

积性函数指对于所有互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数

即，对于一个数论函数$f(x)$，$\mathrm{\forall }gcd(a,b)=1$,满足$f(a\ast b)=f(a)\ast f(b)$,则称$f(x)$具有积性

常见的积性函数：欧拉函数$\phi$，莫比乌斯函数$\mu$，$gcd(n,k)（k\mathrm{为}\mathrm{给}\mathrm{定}\mathrm{整}\mathrm{数}）$

原理

首先积性函数 $f$ 满足：对于任意质数 $p$ 和正整数 $k$，可以在 $O(1)$ 时间内计算 $f(p^k)$，那么可以在 $O(n)$ 时间内筛出 $f(1),f(2),\dots ,f(n)$ 的值

在原有线性筛中额外求一个数组$h$，$h[i]$表示$i$的最小质因子的幂次

即：$x=p_1^{a_1}+p_2^{a_2}+\dots ，(a_i\ne 0,p_1<p_2<\dots )$则$h[x]=p_1^{a_1}$

在线性筛结束之后，从$1\sim n$线性递推，由$gcd(h[i],i/h[i])=1$，$f(i)=f(h[i])\ast f(i/h[i])$

当 $i=p^k$ 时需要特殊处理，一般从该积性函数的定义就可以直接计算

例：$\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$

至此，我们便实现了线性筛的扩展

线性筛(欧拉筛)求素数

思路

也是很简单的：保证每个数只被它最小的因数筛去一次

code

Elaina's code

int prime[N]; // 保存素数
bool is_prime[N];

// 筛选 n 以内的所有素数
void xxs(int n){
    memset(is_prime,1,sizeof(is_prime));
    is_prime[0]=is_prime[1]=0; // 0和1都不是素数
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(is_prime[i]){// 如果i是素数
            prime[++prime[0]]=i;
        }
        for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;++j){
            is_prime[i*prime[j]]=0;

            // 如果i中包含了该质因子，则停止
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

欧拉函数

思路

首先，我们知道欧拉函数表示为

$$\phi (n)=n\times \prod _{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})$$

其中 $p_1,p_2,\dots ,p_k$ 为 $n$ 的所有质因数，$n$为正整数

注意到在线性筛中，每一个合数都是被最小的质因子筛掉

比如设 $p_1$ 是 $n4 的最小质因子，

$n^{\prime }=\frac{n}{p_1}$，那么线性筛的过程中 $n$ 通过 $n^{\prime }\times p_1$ 筛掉

观察线性筛的过程，我们还需要处理两个部分，下面对 $n^{\prime }mod{p}_1$ 分情况讨论

• 如果 $n^{\prime }mod{p}_1=0$，那么 $n^{\prime }$ 包含了 $n$ 的所有质因子

  $$\begin{array}{rl}\phi (n)& =n\times \prod _{i=1}^s\frac{p_i-1}{p_i}\\ \\ & =p_1\times n^{\prime }\times \prod _{i=1}^s\frac{p_i-1}{p_i}\\ \\ & =p_1\times \phi (n^{\prime })\end{array}$$

• 如果 $n^{\prime }mod{p}_1\ne 0$，这时 $n^{\prime }$ 和 $p_1$ 是互质的，根据欧拉函数性质，我们有:

  $$\begin{array}{rl}\phi (n)& =\phi (p_1)\times \phi (n^{\prime })\\ \\ & =(p_1-1)\times \phi (n^{\prime })\end{array}$$

code

Elaina's code

int n,phi[N],prime[N],cnt;
bool pri[N];

void Euler(){
	mst(pri,1);
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(pri[i]){
			prime[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt;j++){
			int k=i*prime[j];
			if(k>n){
				break;
			}
			pri[k]=0;
			if(i%prime[j]==0){
				phi[k]=prime[j]*phi[i];
				break;
			}else{
				phi[k]=(prime[j]-1)*phi[i];
			}
		}
	}
}

莫比乌斯函数

学了再说吧 Ciallo～(∠・ω< )⌒☆

筛法求约数个数

前置

用 $d_i$ 表示 $i$ 的约数个数，$nu{m}_i$ 表示 $i$ 的最小质因子出现次数

约数个数定理

由唯一分解定理，
对于一个大于$1$正整数$n$可以分解质因数：

$$n=\prod _{i=1}^k{p}_i^{a_i}=p_1^{a_1}\ast p_2^{a_2}\dots p_k^{a_k}$$

则$n$的因数个数

$$d_i=\prod _{i=1}^k(a_i+1)$$

证明

用到乘法原理

我不会！ 自豪.jpg

思路

1. 当 $i$ 为质数时，${\mathit{\text{num}}}_i\leftarrow 1,{\mathit{\text{d}}}_i\leftarrow 2$ (很显然对吧)，同时设 $q=\lfloor {\displaystyle \frac{i}{p}}\rfloor$，其中 $p$ 为 $i$ 的最小质因子

2. 当 $p$ 为 $q$ 的质因子时，

$${\mathit{\text{num}}}_i\leftarrow {\mathit{\text{num}}}_q+1,{\mathit{\text{d}}}_i\leftarrow {\displaystyle \frac{{\mathit{\text{d}}}_q}{{\mathit{\text{num}}}_i}}\times ({\mathit{\text{num}}}_i+1)$$

3. 当 $p,q$ 互质时，$${\mathit{\text{num}}}_i\leftarrow 1,{\mathit{\text{d}}}_i\leftarrow {\mathit{\text{d}}}_q\times ({\mathit{\text{num}}}_i+1)$$

code

Elaina's code

int prime[N];
int d[N],num[N];
bool pri[N];

void pre(int n){
	d[1]=1;
    mst(pri,1);
    pri[0]=pri[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(pri[i]){
            prime[++prime[0]]=i;
            d[i]=2;
            num[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;++j){
            pri[i*prime[j]]=0;
			
            if(i%prime[j]==0){
            	num[i*prime[j]]=num[i]+1;
            	d[i*prime[j]]=d[i]/num[i*prime[j]]*(num[i*prime[j]]+1);
            	break;
			}
			num[i*prime[j]]=1;
			d[i*prime[j]]=d[i]*2;
        }
    }
}

筛法求约数和

这个就比较简单了

直接看码

设 $f_i$ 表示 $i$ 的约数和，$g_i$ 表示 $i$ 的最小质因子的 $p^0+p^1+p^2+\dots p^k$

Elaina's code

int prime[N];
int g[N],f[N];
bool pri[N];

void pre(int n){
	g[1]=f[1]=1;
    mst(pri,1);
    pri[0]=pri[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(pri[i]){
            prime[++prime[0]]=i;
            g[i]=i+1;
            f[i]=i+1;
        }
        for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;++j){
            pri[i*prime[j]]=0;
			
            if(i%prime[j]==0){
            	g[i*prime[j]]=g[i]*prime[j]+1;
            	f[i*prime[j]]=f[i]/g[i]*g[i*prime[j]];
            	break;
			}
			f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]];
			g[i*prime[j]]=1+prime[j];
        }
    }
}

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结语

奖励自己一张图吧~

尾图

~~都看到这了，真的不点个赞吗(>ω<*)~~