[BZOJ2720 Violet 5]列队春游（概率期望+组合数学）
列队春游
问题描述
输入格式:
输出格式:
样例输入:
3
1 2 3
样例输出:
4.33
提示
思路
根据期望的线性性质，我们可以枚举每种可能的视野，然后求和
对于每种视野，其期望为该种视野的视野长度 * 该种视野的概率
设某个小朋友的视野期望为 \(ans\) ,她的视野长度为 \(L\)
由于前面的第 \(i\) 个人如果被看到就会对答案有 \(1\) 的贡献，那么我们只要考虑前面的第 \(i\) 个人会被看到的概率就可以了，可以直接求和
\[ans = \sum_{i=1}^{n}i \times P(L \geq i)
\]
设不小于第\(i\)个小朋友身高的有\(k\)个人（不包括他自己）
那么会挡住小朋友的人包括自己随便放总共有 \(A^{k+1}_n\) 种情况，其中那些会挡住小朋友的人不能放在小朋友前面的 \(i - 1\) 个位置，也不能放在小朋友的位置，所以方案数为 \(A^k_{n-i}\) ,然后又因为小朋友自己有 \(n-i+1\) 个位置可以放，所以乘上一个 \(n-i+1\)
所以最终
\[ans = \sum_{i=1}^{n} \frac{(n-i+1)A_{n-i}^{k}}{A_{n}^{k+1}}
\]
然后就是 愉快的 导管子 导式子时光了
\[ans = \sum_{i=1}^{n}\frac{(n-i+1) \frac{(n-i)!}{(n-i-k)!}}{\frac{n!}{(n-k-1)!}}
\]
\[ans = \frac{(n-k-1)!}{n!} \sum_{i=1}^{n}\frac{(n-i+1)!}{(n-i-k)!}
\]
\[ans = \frac{(n-k-1)!}{n!}(k+1)! \sum_{i=1}^{n}\frac{(n-i+1)!}{(n-i-k)!(k+1)!}
\]
\[ans = \frac{(n-k-1)!}{n!}(k+1)! \sum_{i=1}^{n}C_{n-i+1}^{k+1}
\]
\[ans = \frac{(n-k-1)!}{n!}(k+1)! C_{n+1}^{k+2}
\]
\[ans = \frac{n+1}{k+2}
\]
很多题解都没有解释倒数第二个式子是怎么导出来的（可能只有我这个蒟蒻看不懂吧 大悲）
简单解释一下：
先将 $ \sum $ 展开一下，得到
\[ans = \frac{(n-k-1)!}{n!}(k+1)! (C_{n-1+1}^{k+1}+C_{n-2+1}^{k+1}+...+C_{2}^{k+1}+C_{1}^{k+1})
\]
在式子最后加上一个 \(C_{1}^{k+2}\) (由定义可知\(C_{1}^{k+2}=0\)），得
\[ans = \frac{(n-k-1)!}{n!}(k+1)! (C_{n-1+1}^{k+1}+C_{n-2+1}^{k+1}+...+C_{2}^{k+1}+C_{1}^{k+1}+C_{1}^{k+2})
\]
由组合数递推式子 \(C_{n}^{m} = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m}\) 将最后两项合并可得
\[ans = \frac{(n-k-1)!}{n!}(k+1)! (C_{n-1+1}^{k+1}+C_{n-2+1}^{k+1}+...+C_{2}^{k+1}+C_{2}^{k+2})
\]
反复合并，最终得到
\[ans = \frac{(n-k-1)!}{n!}(k+1)! C_{n+1}^{k+2}
\]
code
Elaina's code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps=1e-8;
const int N=5050;
#define int long long
#define inf 0x3f
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define re register
#define Elaina 0
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
inline int read(){
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
return x*f;
}
int n,a[N];
double h[N],ans=0,sum=0;
main(){
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i]=read();
h[a[i]]++;
}
for(int i=1;i<=1000;i++){
ans+=1.0*h[i]*(n+1)/(n-sum+1);
sum+=h[i];
}
printf("%.2lf",ans);
return Elaina;
}
都看到这了，真的不点个赞吗(>ω<*)
