P7903 兜心の顶（构造）

合集 - 题解(*•ω•)(20)

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P7903 兜心の顶

题目背景

Source：八仙敬酒

• 吕洞宾——醉酒提壶力千钧；
• 铁拐李——旋肘膝撞醉还真；
• 汉钟离——跌步抱坛兜心顶；
• 蓝采和——单提敬酒拦腰破；
• 张果老——醉酒抛杯踢连环；
• 曹国舅——仙人敬酒锁喉扣；
• 韩湘子——擒腕击胸醉吹箫；
• 何仙姑——弹腰献酒醉荡步。

题目描述

给定正整数 $n$，要求构造一棵 $n$ 个结点的树，满足树的直径的重心 不是 树的重心。

同时这棵树需满足：直径${}^1$、重心${}^2$、直径的重心${}^3$全部唯一。

---

注：

• 树的直径${}^1$：https://oi-wiki.org/graph/tree-diameter/
• 树的重心${}^2$：https://oi-wiki.org/graph/tree-centroid/
• 树的直径的重心${}^3$：将树的直径（一条链）视作一棵树，求其重心（一个点）。

输入格式

第一行输入一个正整数 $n$，表示树的结点个数。

输出格式

第一行输出一个正整数 $n$。

接下来 $n-1$ 行，每行输出两个正整数 $u,v$，表示树的一条边。

无解输出 -1。

本题采取 Special Judge，输出任意一组合法解均给分。

样例 #1

样例输入 #1

20

样例输出 #1

20
20 18
1 3
19 12
19 4
16 1
4 1
1 7
16 10
7 20
13 8
10 2
18 13
13 17
14 18
11 19
16 5
2 6
16 9
17 15

样例 #2

样例输入 #2

2

样例输出 #2

-1

提示

样例说明

样例 #1 中直径的重心是 $7$，树的重心是 $1$，$1\ne 7$。

样例 #2 中 $n=2$，只有两个点时显然重心不可能唯一。

数据范围

本题采取捆绑测试。

子任务编号	分值	特殊性质
$1$	$30$	$n\le 10$
$2$	$30$	$n$ 是奇数
$3$	$30$	$n$ 是偶数
$4$	$10$	无

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据：$1\le n\le {10}^4$。

题目大意

构造一棵$n$个节点的树，使得树的直径、树的重心、树的直径的重心唯一，并且树的重心与树的直径的重心不同。

分析

我们先构造一个长链作为树的直径，

由于树的直径的重心唯一，

显然 　直径应为奇数。

---

分情况讨论

1. 显然　 直径长度为$1$时不满足题意。

2. 当直径长度为$3$时：

   此时，树的直径的重心为$\mathrm{点}2$。

   若要 “满足树的直径的重心不是树的重心” ，那么树的重心可供选取的位置为$\mathrm{点}1$或$\mathrm{点}3$。　当然，这两个位置是等价的

   假如我们选$\mathrm{点}1$：

   那么为了让她 $\mathrm{点}1$ 成为重心，我们至少要给 $\mathrm{点}1$ 一个节点……吗？

   

   细看可发现：此时树的重心有$\mathrm{点}1$，$\mathrm{点}2$两个重心，

   所以我们至少要给$\mathrm{点}1$ 两个节点。

   当然，此时树的直径变为了$4$，不满足题意。

3. 当直径长度为$5$时：

   此时，树的直径的重心为$\mathrm{点}3$。

   那么现在树的重心可供选取的位置为$\mathrm{点}1$($\iff \mathrm{点}5$)或$\mathrm{点}2$($\iff \mathrm{点}4$)。
   当我们选$\mathrm{点}1$时，与直径长度为$3$时同理。

   当我们选$\mathrm{点}2$时，我们可以在此节点上增加至少两个节点（同上）使他成为树的重心。

   

   乂~ 多了两个直径 咋办呢？

   在$\mathrm{点}1$上再加一个点不就完事了嘛~

   

   乂~ 直径成偶数了 咋办呢？

   为了不让树的直径的重心与树的重心重合，我们只能在$\mathrm{点}5$再加一个节点。

最终我们得到了一个完整的大保健 一颗兜心の顶树，ta的直径为$7$,重心为$\mathrm{点}2$，直径的重心为$\mathrm{点}3$。

综上，$n\le 8$时 无解。

乂~ 那如果点数比$9$多 咋办呢？

其实有些熟悉毒瘤题的dalao可能已经想到了，这实际上就是一个菊花图。

给$\mathrm{点}3$疯狂加点不就完了嘛~

Elaina's code

Elaina's code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define Elaina 0
inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}

int n;

main(){
	n=read();
	if(n<=8) return printf("-1"),Elaina;
	printf("%lld\n",n);
	printf("1 2\n");
	printf("2 3\n");
	printf("3 4\n");
	printf("4 5\n");
	printf("5 6\n");
	printf("6 7\n");
	for(int i=8;i<=n;++i){
		printf("3 %lld\n",i);
	}
	return Elaina;
}