SHUFFLE 洗牌 (扩展欧几里得+龟速乘)

合集 - 题解(*•ω•)(20)

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[AHOI2005] 洗牌

传送门

题目描述

为了表彰小联为 Samuel 星球的探险所做出的贡献，小联被邀请参加 Samuel 星球近距离载人探险活动。

由于 Samuel 星球相当遥远，科学家们要在飞船中度过相当长的一段时间，小联提议用扑克牌打发长途旅行中的无聊时间。玩了几局之后，大家觉得单纯玩扑克牌对于像他们这样的高智商人才来说太简单了。有人提出了扑克牌的一种新的玩法。

对于扑克牌的一次洗牌是这样定义的，将一叠 $N$（$N$为偶数）张扑克牌平均分成上下两叠，取下面一叠的第一张作为新的一叠的第一张，然后取上面一叠的第一张作为新的一叠的第二张，再取下面一叠的第二张作为新的一叠的第三张……如此交替直到所有的牌取完。

如果对一叠 $6$ 张的扑克牌 $1,2,3,4,5,6$，进行一次洗牌的过程如下图所示：

从图中可以看出经过一次洗牌，序列 $1,2,3,4,5,6$ 变为 $4,1,5,2,6,3$。当然，再对得到的序列进行一次洗牌，又会变为 $2,4,6,1,3,5$。

游戏是这样的，如果给定长度为 $N$ 的一叠扑克牌，并且牌面大小从 $1$ 开始连续增加到 $N$（不考虑花色），对这样的一叠扑克牌，进行 $M$ 次洗牌。最先说出经过洗牌后的扑克牌序列中第 $L$ 张扑克牌的牌面大小是多少的科学家得胜。小联想赢取游戏的胜利，你能帮助他吗？

输入格式

输入文件中有三个用空格间隔的整数，分别表示 $N,M,L$。

（其中 $1\le N\le {10}^{10},0\le M\le {10}^{10}$，且 $N$ 为偶数）。

输出格式

单行输出指定的扑克牌的牌面大小。

样例 #1

样例输入 #1

6 2 3

样例输出 #1

6

提示

$0＜N\le {10}^{10}$，$0\le M\le {10}^{10}$，且 $N$ 为偶数。

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分析

由题，易得
每次洗牌后第 $i$ 张牌会转移到第 $2\ast i\mathrm{\%}(n+1)$ 的位置上

即在$mod(n+1)$意义下，$i$ 和 $2i$ 是同余的

即

$$i\ast 2^m\equiv l(mod(n+1))$$

再稍微导亿导

$$2^m\ast i+(n+1)\ast k=l$$

$$2^m\ast \frac{i}{l}+(n+1)\ast \frac{k}{l}=1$$

之后利用exgcd求出$\frac{i}{l}$解再乘上l就可以了
$$

$$
吗？

千辛万苦打出代码

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define inf 0x3f
#define INF 1e9+100
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define re register
#define Elaina 0
const int N = 10000100;

inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}

int t,n,m,k,mod,ans;
int s[N],p[N],l[N];
bool vis[N];

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int res=exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return res;
}

int qpow(int a, int b){
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1){
			res=res*a%(n+1);
		}
		a=a*a%(n+1);
		b>>=1;
	}
	return res;
}

main(){
	n=read(),m=read(),k=read();
	int p=qpow(2,m);
	int xx,yy;
	exgcd(p,n+1,xx,yy);
	while(xx<0){
		xx+=n+1;
	}
	return printf("%lld",xx*k%(n+1)),Elaina;
}

WA了

为啥呢

简单推算可知

longlong他爆掉了

那咋办呢

__int128

__int128固然是可以的 但他太低端

有个东西 他叫“龟速乘”

即牺牲时间而保证你的longlong不会boom一下爆掉~

他长这样↓ 和快速幂几乎是别无二致

int mul(int a,int b,int mod){
	int res=0;
	while(b){
		if(b&1){
			res=(res+a)%mod;
		}
		a=(a+a)%mod;
		b>>=1;
	}
	return res%mod;
}

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code

Elaina's code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define inf 0x3f
#define INF 1e9+100
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define re register
#define Elaina 0
const int N = 10000100;

inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}

int t,n,m,k,mod,ans;
//int ;
//bool ;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int res=exgcd(b,a%b,x,y);
//	x^=y^=x^=y;
//	y-=a/b*x;
	int t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return res;
}

int mul(int a,int b,int mod){
	int res=0;
	while(b){
		if(b&1){
			res=(res+a)%mod;
		}
		a=(a+a)%mod;
		b>>=1;
	}
	return res%mod;
}

int qpow(int a,int b,int mod){
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1){
			res=mul(res,a,mod);
		}
		a=mul(a,a,mod);
		b>>=1;
	}
	return res%mod;
}

main(){
	n=read(),m=read(),k=read();
	int p=qpow(2,m,n+1);
	int xx,yy;
	exgcd(p,n+1,xx,yy);
	while(xx<0){
		xx+=n+1;
	}
	printf("%lld",mul(xx,k,n+1));
	return Elaina;
}

都看到这了，真的不点个赞吗(>ω<*)