[NOI2002] 荒岛野人

[NOI2002] 荒岛野人

传送门

题目描述

克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的 \(m\) 个山洞。这些山洞顺时针编号为 \(1,2,\dots ,m\) 。岛上住着 \(n\) 个野人，一开始依次住在山洞 \(C_1,C_2,\dots ,C_n\)中，以后每年，第 \(i\) 个野人会沿顺时针向前走 \(P_i\) 个洞住下来。

每个野人 \(i\) 有一个寿命值 \(L_i\)，即生存的年数。

下面四幅图描述了一个有 \(6\) 个山洞，住有三个野人的岛上前四年的情况。三个野人初始的洞穴编号依次为 \(1,2,3\)；每年要走过的洞穴数依次为 \(3,7,2\)；寿命值依次为 \(4,3,1\)。

奇怪的是，虽然野人有很多，但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中，使得小岛一直保持和平与宁静，这让科学家们很是惊奇。他们想知道，至少有多少个山洞，才能维持岛上的和平呢？

输入格式

第 \(1\) 行为一个整数 \(n(1\leq n\leq 15)\)，即野人的数目。

第 \(2\) 行到第 \(N+1\) 每行为三个整数 \(C_i, P_i, L_i (1\leq C_i,P_i \leq 100, 0\leq L_i\leq 10^6 )\)，表示每个野人所住的初始洞穴编号，每年走过的洞穴数及寿命值。

输出格式

仅包含一个数 \(M\)，即最少可能的山洞数。输入数据保证有解，且 \(M\) 不大于 \(10^6\)。

样例 #1

样例输入

3
1 3 4
2 7 3
3 2 1

样例输出

6

提示

\(1\leq N\leq 15\)，\(1\leq C_i,P_i\leq 100\)，\(0\leq L_i\leq 10^6\)

保证 \(M\leq 10^6\)

分析

读题

设\(i\)表示第\(i\)个野人 \(x\)表示第\(x\)年

显然

这个野人的位置为

\[(c[i]+p[i]*x) \% m \]

那么为了保持小岛的和平安定 对于\(i,j\)两个野人,他们在第\(x\)年 有不等式

\[(c[i]+p[i]*x) \% m \neq(c[j]+p[j]*x) \% m \]

嘶~ 他很神奇

我们稍微导亿导

\[(c[i]+p[i]*x)\%m \neq (c[j]+p[j]*x)\%m \]

\[c[i]+p[i]*x+m*k_1 \neq c[j]+p[j]*x+m*k_2 \]

\[p[i]*x-p[j]*x+m*k_1-m*k_2 \neq c[j]-c[i] \]

\[(p[i]-p[j])*x+(k_1-k_2)*m \neq c[j]-c[i] \]

他很厉害！他不是一个有形的！
所以你读心经,观自在菩萨,行深般若波罗蜜多时,照见五蕴皆空。
注意,不死不灭,不垢不净,不增不减。
如如不动。
所以万物生于有,有生于无。
他不是一个实体！
你看他像什么
是不是这个↘

\[a*x_1+b*y_1=z=gcd(a,b) \]

这是什么？
裴蜀定理哇
扩展欧几里得求解就完事了...........................吗？
咱这是不等号啊 人家裴蜀定理是等号
那咋办呢

不等式不就是相当于等式取反嘛

我们把导出来的式子换成等号求无解(野人压根遇不到)或求出来的\(最小非负整数解 \geq min(l_i,l_j)\)(其中一个已经死翘翘了)的情况不就完事了嘛~

私货：多导有益于身心健康

code

Elaina's code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define inf 0x3f
#define INF 1e9+100
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define re register
#define Elaina 0
const int N = 10000100;

inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}

int t,n,m,mod,ans;
int s[N],p[N],l[N];
bool vis[N];

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int res=exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return res;
}


bool check(int m) {
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=i+1;j<=n;++j){
			int a=p[i]-p[j],b=m,c=s[j]-s[i],xx,yy;
			int d=exgcd(a,b,xx,yy);
			if(c%d){
				continue;
			}
			a/=d,b/=d,c/=d;
			if(b<0){
				b=-b;
			}
			xx=(xx*c%b+b)%b;
			if(xx<=l[i]&&xx<=l[j]){
				return 0;
			}
		}
	}
	return 1;
}

main(){
	scanf("%lld",&n);
	int maxx=0;
	for(re int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld%lld%lld",&s[i],&p[i],&l[i]);
		maxx=max(maxx,s[i]); 
	}
	for(re int i=maxx;;i++){
		if(check(i)){
			printf("%lld\n",i);
			return Elaina;
		}
	}
	return Elaina;
}

都看到这了，真的不点个赞吗(>ω<*)