[NOI2002] 荒岛野人

合集 - 题解(*•ω•)(20)

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[NOI2002] 荒岛野人

传送门

题目描述

克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的 $m$ 个山洞。这些山洞顺时针编号为 $1,2,\dots ,m$ 。岛上住着 $n$ 个野人，一开始依次住在山洞 $C_1,C_2,\dots ,C_n$中，以后每年，第 $i$ 个野人会沿顺时针向前走 $P_i$ 个洞住下来。

每个野人 $i$ 有一个寿命值 $L_i$，即生存的年数。

下面四幅图描述了一个有 $6$ 个山洞，住有三个野人的岛上前四年的情况。三个野人初始的洞穴编号依次为 $1,2,3$；每年要走过的洞穴数依次为 $3,7,2$；寿命值依次为 $4,3,1$。

奇怪的是，虽然野人有很多，但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中，使得小岛一直保持和平与宁静，这让科学家们很是惊奇。他们想知道，至少有多少个山洞，才能维持岛上的和平呢？

输入格式

第 $1$ 行为一个整数 $n(1\le n\le 15)$，即野人的数目。

第 $2$ 行到第 $N+1$ 每行为三个整数 $C_i,P_i,L_i(1\le C_i,P_i\le 100,0\le L_i\le {10}^6)$，表示每个野人所住的初始洞穴编号，每年走过的洞穴数及寿命值。

输出格式

仅包含一个数 $M$，即最少可能的山洞数。输入数据保证有解，且 $M$ 不大于 ${10}^6$。

样例 #1

样例输入

3
1 3 4
2 7 3
3 2 1

样例输出

6

提示

$1\le N\le 15$，$1\le C_i,P_i\le 100$，$0\le L_i\le {10}^6$

保证 $M\le {10}^6$

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分析

读题

设$i$表示第$i$个野人 $x$表示第$x$年

显然

这个野人的位置为

$$(c[i]+p[i]\ast x)\mathrm{\%}m$$

那么为了保持小岛的和平安定 对于$i,j$两个野人,他们在第$x$年 有不等式

$$(c[i]+p[i]\ast x)\mathrm{\%}m\ne (c[j]+p[j]\ast x)\mathrm{\%}m$$

嘶~ 他很神奇

我们稍微导亿导

$$(c[i]+p[i]\ast x)\mathrm{\%}m\ne (c[j]+p[j]\ast x)\mathrm{\%}m$$

$$c[i]+p[i]\ast x+m\ast k_1\ne c[j]+p[j]\ast x+m\ast k_2$$

$$p[i]\ast x-p[j]\ast x+m\ast k_1-m\ast k_2\ne c[j]-c[i]$$

$$(p[i]-p[j])\ast x+(k_1-k_2)\ast m\ne c[j]-c[i]$$

他很厉害！他不是一个有形的！
所以你读心经,观自在菩萨,行深般若波罗蜜多时,照见五蕴皆空。
注意,不死不灭,不垢不净,不增不减。
如如不动。
所以万物生于有,有生于无。
他不是一个实体！
你看他像什么
是不是这个↘

$$a\ast x_1+b\ast y_1=z=gcd(a,b)$$

这是什么？
裴蜀定理哇
扩展欧几里得求解就完事了...........................吗？
咱这是不等号啊 人家裴蜀定理是等号
那咋办呢

不等式不就是相当于等式取反嘛

我们把导出来的式子换成等号求无解(野人压根遇不到)或求出来的$\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{非}\mathrm{负}\mathrm{整}\mathrm{数}\mathrm{解}\ge min(l_i,l_j)$(其中一个已经死翘翘了)的情况不就完事了嘛~

私货：多导有益于身心健康

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code

Elaina's code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define inf 0x3f
#define INF 1e9+100
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define re register
#define Elaina 0
const int N = 10000100;

inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}

int t,n,m,mod,ans;
int s[N],p[N],l[N];
bool vis[N];

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int res=exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return res;
}


bool check(int m) {
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=i+1;j<=n;++j){
			int a=p[i]-p[j],b=m,c=s[j]-s[i],xx,yy;
			int d=exgcd(a,b,xx,yy);
			if(c%d){
				continue;
			}
			a/=d,b/=d,c/=d;
			if(b<0){
				b=-b;
			}
			xx=(xx*c%b+b)%b;
			if(xx<=l[i]&&xx<=l[j]){
				return 0;
			}
		}
	}
	return 1;
}

main(){
	scanf("%lld",&n);
	int maxx=0;
	for(re int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld%lld%lld",&s[i],&p[i],&l[i]);
		maxx=max(maxx,s[i]); 
	}
	for(re int i=maxx;;i++){
		if(check(i)){
			printf("%lld\n",i);
			return Elaina;
		}
	}
	return Elaina;
}

都看到这了，真的不点个赞吗(>ω<*)