[SCOI 2009] 迷路 (矩阵快速幂)

合集 - 题解(*•ω•)(20)

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[SCOI 2009]迷路

传送门

问题描述

Windy 在有向图中迷路了。 该有向图有 $N$ 个节点，Windy 从节点 $1$ 出发，他必须恰好在 $T$ 时刻到达节点 $N$。
现在给出该有向图，你能告诉 Windy 总共有多少种不同的路径吗？
注意：Windy 不能在某个节点逗留，且通过某有向边的时间严格为给定的时间。

输入格式:

第一行包含两个整数，$N,T$；
接下来有 $N$ 行，每行一个长度为 $N$ 的字符串。第 $i$ 行第 $j$ 列为 $0$ 表示从节点 $i$ 到节点 $j$ 没有边，为 $1$ 到 $9$ 表示从节点 $i$ 到节点 $j$ 需要耗费的时间。

输出格式:

包含一个整数，可能的路径数，这个数可能很大，只需输出这个数除以 $2009$ 的余数。

样例输入1:

2 2
11
00

样例输出1:

1

样例说明1:

$1\to 1\to 2$

样例输入2:

5 30
12045
07105
47805
12024
12345

样例输出2:

852

说明:

对于 $30\mathrm{\%}$ 的数据，满足 $2\le N\le 5,1\le T\le 30$；
对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，满足 $2\le N\le 10,1\le T\le {10}^9$。

分析

1.这dio图里怎么还有自环呢？

哦 凑时间用的

2.既然是个图 那就画出来看看叭(过于抽象以至于未完成）

实在蚌埠住了

3.乂~它在矩阵快速幂专题里面诶，那就先打个板子叭

（打板子ing）
既然是矩阵快速幂，那肯定要推递推式啊

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\mathrm{试}\mathrm{试}\mathrm{就}\mathrm{逝}\mathrm{世}$

假如输入是个邻接矩阵
我们先不看边权(假设边权都为1) 无权的都推不出来还推什么带权的

显而易得

这个邻接矩阵自乘$T$次之后 $a[1][n]$ 就是答案

设$F[i,j]$表示$i\sim j$
若有连边则说明$i\sim j$有一种路径
那么$a[i][k]\ast a[k][j]$就相当于从$i$走到$k$的方案数乘以从$k$到$j$的方案数
将所有的$a[i][k]\ast a[k][j]$加起来 就能得到多走$1$的方案数
于是就有了方程：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$F_t=\sum _{k=1}^n{F}_{t-1}[i,k]\ast F_1[k,j]$

所以$F_1$就是最原始的矩阵aaaaaaaaa

但问题在于 这个矩阵的边权不为$1$aaaaaaaaaaa

————————————————————
问佬佬()
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
学成归来
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于是我们知道了一个叫做拆点的东东

由于上限为9
我们将$1$个点拆成$9$个点，第$i$个点拆成的第$j-1$个点向第$j$个点连一条边权为$1$的边
那么$i\sim j$有一条边权为$k$的边等价于$i$向$j$拆成的第$k$个点连边

最后再跑一遍矩阵快速幂就好啦~~~

code

Elaina's code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define inf 0x3f
#define INF 0x7fffffff
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define Elaina 0
const int N = 15;
const int mod = 2009;
int n,sn,t;

struct Mat{
	int n,m;
	int a[N*9][N*9];
	void clean(){
		mst(a,0);
	}
	void unit(){
		clean();
		for(int i=1;i<=n;i++){
			a[i][i]=1;
		}
	}
	void resize(int x,int y){ 
		n=x,m=y;
	}
	Mat operator * (const Mat &A) const {
		Mat res;
		res.resize(n,n);
		res.clean();
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				for(int k=1;k<=n;k++){
					res.a[i][j]=(a[i][k]*A.a[k][j]+res.a[i][j])%mod;
				}
			}
		}
		return res;
	}
};

Mat qpow(Mat A,int b){
	Mat res;
	res.resize(n,n);
	res.unit();
	while(b){
		if(b&1){
			res=res*A;
		}
		A=A*A;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
Mat mat;
signed main(){
	cin>>n>>t;
	sn=n;
	n*=9;
	char x[N];
	
	mat.resize(n,n);
    
    //拆分大点为小点
	for(int i=1;i<=sn;i++){
		for(int j=1;j<=8;j++){
			mat.a[(i-1)*9+j+1][(i-1)*9+j]=1;
		}
	}

    //大点这个集合建边
	for(int i=1;i<=sn;i++){
		scanf("%s",x+1);
		for(int j=1;j<=sn;j++){
			if(x[j]>'0'){
				mat.a[(j-1)*9+1][(i-1)*9+x[j]-'0']=1;
			}
		}
	}
	mat=qpow(mat,t);
	cout<<mat.a[sn*9-8][1]%mod;
	return Elaina;
}

都看到这了，真的不点个赞吗(>ω<*)