玉蟾宫 （悬线DP）

题目

传送门

问题描述

有一天，小猫rainbow和freda来到了湘西张家界的天门山玉蟾宫，玉蟾宫宫主蓝兔盛情地款待了它们，并赐予它们一片土地。 这片土地被分成N*M个格子，每个格子里写着’R’或者’F’，R代表这块土地被赐予了rainbow，F代表这块土地被赐予了freda。 现在freda要在这里卖萌。。。它要找一块矩形土地，要求这片土地都标着’F’并且面积最大。 但是rainbow和freda的OI水平都弱爆了，找不出这块土地，而蓝兔也想看freda卖萌（她显然是不会编程的……），所以它们决定，如果你找到的土地面积为S，它们每人给你S两银子。

输入格式:

第一行两个整数N,M，表示矩形土地有N行M列。 接下来N行，每行M个用空格隔开的字符’F’或’R’，描述了矩形土地。

输出格式:

输出一个整数，表示你能得到多少银子，即(3*最大’F’矩形土地面积)的值。

样例输入:

5 6
R F F F F F
F F F F F F
R R R F F F
F F F F F F
F F F F F F

样例输出:

45

数据范围：

对于50%的数据，1<=N,M<=200
对于100%的数据，1<=N,M<=1000

思路（悬线法）

\(\color{red}{\large ~~悬线嘛　顾名思义　就是悬着一根线晃来晃去求最大子矩阵~~}\)
对于不为'R'的点(i,j)，其左端点仅与点(i-1,j)的左端点和最后一个在点(i,j)前为'R'的点有关，而根据木桶原则，点(i,j)的左端点应取max，右端点则应取min。
而高(第i层的高)则为第i-1的高+1。
因此，很容易得到动态转移方程为

 l[i][j]=max(l[i][j],l[i-1][j]);
 r[i][j]=min(r[i][j],r[i-1][j]);
 up[i][j]=up[i-1][j]+1;

l表示从点(i,j)出发向左能达到的最远距离
r表示从点(i,j)出发向右能达到的最远距离
up表示从点(i,j)出发向上能达到的最远距离
(是的，没有down)

总的来说，就是

//初始化
for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=1;j<=m;j++){
		cin>>a[i][j];
		l[i][j]=r[i][j]=j;
		up[i][j]=1;
	}
}

for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=1;j<=m;j++){
		if(满足巴拉巴拉){
			l[i][j]=l[i][j-1];
		}
	}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=m;j>=1;j--){
		if(满足巴拉巴拉){
			r[i][j]=r[i][j+1];
		}
	}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=1;j<=m;j++){
		if(满足巴拉巴拉){
		    l[i][j]=max(l[i][j],l[i-1][j]);
		    r[i][j]=min(r[i][j],r[i-1][j]);
			up[i][j]=up[i-1][j]+1;
		}
		int x=r[i][j]-l[i][j]+1;
		ans=max(x*up[i][j],ans);//面积
	}
}

参考文献
浅谈用极大化思想解决最大子矩形问题

Elaina's code

Elaina's code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define inf 0x3f
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define Elaina 0
const int N = 1e3 + 100;
int n,m,l[N][N],r[N][N],up[N][N],ans,sum;
char a[N][N];
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
	cout.tie(0);
    
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			cin>>a[i][j];
			l[i][j]=r[i][j]=j;
			up[i][j]=1;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=2;j<=m;j++){
			if(a[i][j]==a[i][j-1]&&a[i][j]=='F'){
				l[i][j]=l[i][j-1];
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=m-1;j>=1;j--){
			if(a[i][j]==a[i][j+1]&&a[i][j]=='F'){
				r[i][j]=r[i][j+1];
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(i>1&&a[i][j]==a[i-1][j]&&a[i-1][j]=='F'){
				l[i][j]=max(l[i][j],l[i-1][j]);
				r[i][j]=min(r[i][j],r[i-1][j]);
				up[i][j]=up[i-1][j]+1;
			}
			int x=r[i][j]-l[i][j]+1;
			ans=max(x*up[i][j],ans);
		}
	}
	cout<<ans*3;
	return Elaina;
}

都看到这了，真的不点个赞吗(>ω<*)