动态规划之背包DP
\(\small{(本文统一将c[i]视作cost，w[i]视作worth，下面的代码用这两个变量表示费用和价值)}\)
01背包
描述:
有n个物品，每个物品只有一件，第i个物品体积为vi，价格为ci。现在有一个体积为V的背包，请你从n件物品里选出若干件放进背包里，使得背包里的物品价值最大。
思路：
01背包的特点是：每种物品只有一件，可以选择放或不放。我们可以根据此特点进行动态规划（DP），设f[i][j]表示前i件物品放入一个容量为j的背包中可以获得的最大价值，则易得状态转移方程为
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-c[i]]+w[i])
(详解：在“将前i个物品放入容量为j的背包中”的这个子问题中，由题意，我们只有\(\textbf{放}\)或\(\textbf{不放}\)两种选择，那么就转化为一个只与前i-1个物品有关的问题。如果不放第i件物品，那么就是“前i-1件物品放入容量为j的背包中”，最大价值为f[i-1][j]；如果放第i件物品，那么就是“前i-1件物品放入剩下的容量为j-c[i]的背包中”，最大价值为f[i-1][j-c[i]]+w[i])
由此可得01背包的\(\textbf{最原始}\)代码
code
$\large\textbf{code}$
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1010
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],dp[N][N],ans=0;
void bag(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=V;j++){
dp[i][j]=dp[i-1][j];
if(j>=c[i]){
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-c[i]]+w[i]);
}
}
}
}
int main(){
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>c[i]>>w[i];
}
bag();
cout<<dp[n][V];
return Elaina;
}
以上代码的时间和空间的复杂度均为O(V*N)，其中时间已经不能进一步优化了，但是空间可以
滚动数组优化code
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1010
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],ans=0;
int dp[2][N];//滚动数组优化 只开2行数组
void bag(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=V;j++){
dp[i&1][j]=dp[(i-1)&1][j];
if(j>=c[i]){
dp[i&1][j]=max(dp[i&1][j],dp[(i-1)&1][j-c[i]]+w[i]);
}
}
}
}
int main(){
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>c[i]>>w[i];
}
bag();
cout<<dp[n&1][V];
return Elaina;
}
一维优化code
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1010
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],ans;
int dp[N];//一维数组优化
void bag(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=V;j>=c[i];j--){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
}
}
}
int main(){
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>c[i]>>w[i];
}
bag();
cout<<dp[V];
return Elaina;
}
完全背包
描述：
设有n种物品，每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为M，今从n种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取)，使其重量的和小于等于M，而价值的和为最大。
思路：
完全背包的特点是：每种物品有无数件，可以选择放若干件或不放。
设k为取的物品的数量，依据01背包思路，易得状态转移方程为
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i])
code
$\large\textbf{code}$
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10100
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],dp[N][N],ans=0;
void bag(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=V;j++){
for(int k=0;k*c[i]<=j;k++){
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);
}
}
}
}
int main(){
cin>>V>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>c[i]>>w[i];
}
bag();
cout<<dp[n][V];
return Elaina;
}
一维优化code
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10100
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],dp[N],ans=0;
void bag(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=c[i];j<=V;j++){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
}
}
}
int main(){
cin>>V>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>c[i]>>w[i];
}
bag();
cout<<dp[V];
return Elaina;
}
多重背包
描述：
有N种物品和一个容量为V的背包。第i ii种物品最多有p[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
思路：
这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有p[i]+1种策略：取0件，取1件……取p[i]件。令dp[i][j]表示前i种物品恰放入一个容量为j的背包的最大价值，则有状态转移方程：
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i])
code
$\large\textbf{code}$
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10100
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],dp[N][N],s[N];
void bag(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=V;j++){
for(int k=0;k<=s[i]&&k*c[i]<=j;k++){
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);
}
}
}
}
int main(){
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>c[i]>>w[i]>>s[i];
}
bag();
cout<<dp[n][V];
return Elaina;
}
一维优化code
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1010
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],dp[N],s[N];
void bag(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=V;j>=0;j--){
for(int k=0;k<=s[i]&&k*c[i]<=j;k++){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*c[i]]+k*w[i]);
}
}
}
}
int main(){
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>c[i]>>w[i]>>s[i];
}
bag();
cout<<dp[V];
return Elaina;
}
二进制优化
详解
code
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 50100
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define Elaina 0
int idx=0,n,V,c[N],w[N],dp[N];
void bag(){
for(int i=1;i<=idx;i++){
for(int j=V;j>=c[i];j--){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
}
}
}
int main(){
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++){
int a,b,s;
cin>>a>>b>>s;
int k=1;
if(!s){
s=V/a+1;
}
while(k<=s){
idx++;
v[idx]=a*k;
w[idx]=b*k;
s-=k;
k*=2;
}
if(s){
idx++;
v[idx]=a*s;
w[idx]=b*s;
}
}
bag();
cout<<dp[V];
return Elaina;
}
混合背包
描述：
一个旅行者有一个最多能用V公斤的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是W1，W2，...,Wn，它们的价值分别为C1,C2,...,Cn。有的物品只可以取一次（01背包），有的物品可以取无限次（完全背包），有的物品可以取的次数有一个上限（多重背包）。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
（就是把前01背包、完全背包、多重背包搓起来 搓吧搓吧就出来了(^_−)☆）
直接请出代码君
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10100
#define inf 0x3f3f3f3f
#define Elaina 0
int idx=0,n,V,c[N],w[N],dp[N],s[N],ans=inf;
void bag(){
for (int i=1; i<=n; i++){
if(s[i]==1){
for(int j=V;j>=c[i];j--){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
}
}
else if(s[i]==0){
for(int j=c[i];j<=V;j++){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
}
}else{
for(int j=V;j>=0;j--){
for(int k=0;k<=s[i]&&k*c[i]<=j;k++){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*c[i]]+k*w[i]);
}
}
}
}
}
int main(){
cin>>V>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>c[i]>>w[i]>>s[i];
}
bag();
cout<<dp[V];
return Elaina;
}
分组背包
描述：
一个旅行者有一个最多能用V公斤的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是W1，W2，...,Wn，它们的价值分别为C1,C2,...,Cn。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大
死路：
这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。设dp[k][j]表示前k组物品花费费用j的最大价值，则有状态转移方程为：
dp[k][j]=max(dp[k][j],dp[k-1][j-c[i]]+w[i]
一维优化code
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10100
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define Elaina 0
int n,t,V,T,c[N],w[N],dp[N],g[N][N];
void bag(){
for (int i=1; i<=T; i++){
for(int j=V;j>=0;j--){
for(int k=1;k<=g[i][0];k++){
int x=g[i][k];
if(j>=c[x]){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[x]]+w[x]);
}
}
}
}
}
int main(){
cin>>V>>n>>T;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>c[i]>>w[i]>>t;
g[t][++g[t][0]]=i;
}
bag();
cout<<dp[V];
return Elaina;
}
二维背包
描述：
对于每件物品，具有两种不同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有一个可付出的最大值（背包容量）。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设第i ii件物品所需的两种代价分别为c[i]和g[i]。两种代价可付出的最大值（两种背包容量）分别为V和M。物品的价值为w[i]。
死路：
费用加一维，状态也加一维即可。设dp[i][j][k]表示前i件物品付出的代价为j和k是的最大价值，易得状态转移方程为
dp[i][j][k]=max(dp[i-1][j][k],dp[i-1][j-c[i]][k-g[i]]+w[i]
二维优化code
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10100
#define Elaina 0
int M,n,V,c[N],w[N],dp[N][N],g[N];
void bag(){
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=V;j>=c[i];j--)
for(int k=M;k>=g[i];k--)
dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-c[i]][k-g[i]]+w[i]);
}
int main(){
cin>>n>>V>>M;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>c[i]>>g[i]>>w[i];
}
bag();
cout<<dp[V][M];
return Elaina;
}
有依赖的背包（树上背包）
鸽一会 咕咕 ヾ(ｏ･ω･)ﾉ
都看到这了，真的不点个赞吗(>ω<*)
