后缀数组 学习笔记

合集 - 学习笔记(2)

1.后缀数组 学习笔记2023-10-30

2.Splay 学习笔记2023-10-23

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后缀数组 学习笔记

定义

我们定义后缀数组 $Sa$ 中的元素 $S{a}_i$ 为，字典序排名为 $i$ 的后缀所在的位置。我们定义排名数组 $Rank$ 中的元素 $Ran{k}_i$ 为，在位置 $i$ 的后缀的排名。

求解后缀数组

首先 $O(n^{2}logn)$ 的解法很显然，直接排序。

那么有一个利用倍增的思想求解后缀数组的 $O(nlo{g}^{2}n)$的解法 ，首先，我们优先对单个字符排序，发现出现重复的话，我们倍增扩大长度，再次进行比较，直到每个后缀的排名各不相同。

其实还有 $O(nlogn)$ 和 $O(n)$ 的解法，详见 后缀数组简介 - OI Wiki

Code

/*
 * @Author: Ehundategh
 * @Date: 2023-10-22 20:15:56
 * @FilePath: \Code\Model\String\SA.cpp
 * @Description: You Steal,I kill
 */
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MAXN 2000010
using namespace std;
int Suffix_Array[MAXN],Rank[MAXN],n,k,Height[MAXN];
int Temp[MAXN];
char In[MAXN];
bool cmpsa(int i,int j){
    if(Rank[i]!=Rank[j]){
        return Rank[i]<Rank[j];
    }
    else{
       int Secondi=i+k<=n?Rank[i+k]:-1;
       int Secondj=j+k<=n?Rank[j+k]:-1;
       return Secondi<Secondj;
    }
}
void Get_SA(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        Suffix_Array[i]=i; Rank[i]=In[i];
    }
    for(k=1;k<=n;k*=2){
        sort(Suffix_Array+1,Suffix_Array+n+1,cmpsa);
        Temp[Suffix_Array[1]]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            Temp[Suffix_Array[i+1]]=Temp[Suffix_Array[i]]+(cmpsa(Suffix_Array[i],Suffix_Array[i+1])?1:0);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++) Rank[i]=Temp[i];
    }
    return;
}
int main(){
    scanf("%s",In+1);
    n=strlen(In+1);
    Get_SA();
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",Suffix_Array[i]);
}

这样就可以求出后缀数组了。

例题：

[[JSOI 2007]字符加密]([P4051 JSOI2007] 字符加密 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn))

思路

首先我们先把字符串复制一遍，那么将全新的字符串的后缀排序，从后缀排名从小到大遍历，如果出现后缀位置在原串中，就输出当前位置前一个位置的字符

高度数组

高度数组，后缀数组的神。

分为以下三个部分讲解：

• 定义
• 求解
• 例题

定义

首先我们先定义 $LCP(S1,S2)$(longest Common Prefix) 即最长公共前缀，为：一个最大的 $x$ 满足 $S{1}_i=S{2}_i(\mathrm{\forall }1\le i\le x)$。而我们下面提到的 $LCP(a,b)$，都是表示以 $(a,b)$ 两个位置为起点的后缀的最长公共前缀。

我们定义：$Heigh{t}_i=LCP(S{a}_i,S{a}_{i-1})$，特别地， $Heigh{t}_1=0$。

举个例子，方便理解高度数组。

我们来看以下的字符串：$\mathtt{\text{abcbc}}$，对于这一个字符串，我们尝试求解其高度数组。

首先有 $Heigh{t}_1=0$。

然后我们来求解 $Heigh{t}_2$，将 $S{a}_2$ 与 $S{a}_1$ 作比较求最长公共前缀，也就是求解 $\mathtt{\text{abcbc}}$ 和 $\mathtt{\text{bc}}$ 的最长公共前缀，也就是 $0$。

然后对于 $Heigh{t}_3$，将 $S{a}_3$ 与 $S{a}_2$ 作比较求最长公共前缀，那么比较 $\mathtt{\text{bc}}$ 和 $\mathtt{\text{bcbc}}$ 即可，答案为 $2$。

对于 $Heigh{t}_4$ 和 $Heigh{t}_5$ 同理可得答案为，$0,1$。

求解

求解有一个神奇的引理 $Heigh{t}_{Ran{k}_i}\ge Heigh{t}_{Ran{k}_{i-1}}-1$。

关于这个引理的证明。详见2009国家队论文。

那么我们就可以通过这个引理，来实现 $O(n)$ 时间复杂度的高度数组处理。

每次尝试与排名上一个的后缀比较，拓展得到当前的 $Heigh{t}_i$ 即可，而拓展也不用从 $0$ 开始，从上次的 $Heigh{t}_i-1$ 开始即可，这样高度数组最多变化 $3n$ 次，所以时间复杂度是 $O(n)$。

代码

void Get_Height(){
    for(int i=1,k=0;i<=n;i++){
        if(Rank[i]==0)continue;
        if(k>0) --k;
        while(In[i+k]==In[Suffix_Array[Rank[i]-1]+k])++k;
        Height[Rank[i]]=k;
    }
}

例题

ADASTRNG - Ada and Substring

思路

高度数组模板题，对于每一个字符开头的后缀只需要每次统计总共的子串个数，然后再减去两两后缀的最长公共前缀去重即可。

UVA Editor

思路

对于每一组询问，求Height的max即可。（话说这道题有一个加强版，要求出现k次，但是其实是一个做法，只需要求相邻k-1个的Height的max即可）