特征值、特征向量的性质

定义

Aα=λα，λ是特征值，α是特征向量

 

 

性质

 

性质一

α是A的特征向量，kα也是A的关于λ的特征向量

证明：Aα=λα，则 A（kα）=λ（kα）

 

性质二

一个特征向量只属于一个特征值

证明：假设α同时属于λ₁和λ₂，则 Aα=λ₁α，且Aα=λ₂α，两个相减，0=（λ_1-λ₂）α，则α=0或λ₁=λ₂，后者那么属于同一个特征值，零向量除外

 

性质三

α1，α2是关于λ的特征向量，则k₁α₁+k₂α₂也是关于λ的特征向量

 

性质四

A和A^T有相同的特征值，但是特征向量不一定相同

证明：|λE-A|=0，则|λE-A^T|=|λE^T-A^T|=| (λE-A)^T |，因为|A|=|A^T|，所以|λET-AT|=|λET-AT|=| (λE-A)^T|=|λE-A|

 

性质五

n阶方阵A的特征值有λ1~λn，则∑λ=∑aii，Πλ=|A|

证明：

 

 

 

性质六

n阶方阵可逆 <==> λ_i≠0

n阶方阵不可逆 <==> 存在λ_i=0

证明：由性质五，可逆得出|A|≠0，则Πλ=|A|≠0。反之亦然。

 

性质七

A的特征值有λ₁~λ_n，且有的λ对应多个α，那么这些所有阿尔法线性无关

 

性质八

λi是A的k重特征根，A对应λ无关的特征向量个数≤k

 

性质九(重量级)

if λ是A的一个特征值，那么...

　　kλ是kA的特征值（k=0也成立）

　　λ²是A²的特征值

　　λⁿ是Aⁿ的特征值

　　　　证明：因为Aα=λα，那么A²α=Aλα=λ²α，n同理

　　λ+n是A+nE特征值

　　　　证明：因为Aα=λα，nEα=nα，两者相加得到（A+nE）α=（λ+n）α

　　λ²+6λ+9是A²+6A+9E的特征值

　　　　证明：和上面两个证明思路一样，相加即可

　　1/λ是A^-1的特征值

　　　　证明：因为Aα=λα，则A^-1Aα=A^-1λα，则α=λA^-1α，移项得A^-1α=（1/λ）α

 

性质10

A为可逆矩阵，λ是A特征值，|A|/λ是A*特征值

证明：由伴随矩阵性质，A*=|A|A^-1，则由性质九得，A*特征值为|A|/λ