从曲线积分求解看待积分的本质

积分的本质是求和，求导的本质的求分，两者的目标是在极限中寻找有限量。

积分不止是对函数，只要满足，一个大的个体可以被划分为小的单体，且单体之间能够用统一的函数式和不一定相等的微元结合的方式概括，那么就可以进行积分了。

遗憾的是，每个微元不一定相等，但是我们人类目前只会求相等微元的积分，也就是学校学到的函数积分，那么我们求解变微元问题的唯一方法就是将它转化为定微元问题。但是实际上，微元可变也是积分的一种。

积分是特殊的求和，微分是特殊的近似，两者在求和和近似领域内就像是拥有天赋的神之子一样耀眼，所以拥有单独的姓名。两者会使用极限，即无穷大和无穷小的能力。故十分玄妙。

 

第一类曲线积分是对标量场求和积分，第二类曲线积分是对向量场进行求和积分。

但是第二类曲线积分看都不用看，因为点积可以转化为标量的积分。

 

第一类曲线积分的微元是ds，ds可以取成定长可以取成变长，但是定长后的ds，s很难表示f，陷入了求不出来的尴尬局面。所以我们一般让ds变长，让dt（可以理解为时间，其实是曲线的1自由度的参数方程未知数）定长，然后f可以用参数方程t表示，ds也可以表示为vdt，v是t的导数，这样就把问题转化为了我们熟悉的定长定元的积分问题。从几何上看相当于把弯曲的曲线拉直了。